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4. Sia dato un sistema di due equazioni differenzi ali d'ordine k 



J dy dz_ dS)_ dh\ __ 



f\ Xìyì * ì dx ì dx'"'dx* , da?) 



(6) / dy ds d*y dh\_ n 



ove le f e g> sono, in un determinato campo C, continue rispetto a tutti gli 

 argomenti e razionali in delle quali non può mancare la stessa 



in entrambe le equazioni, e razionali pure in una derivata d'ordine inferiore 



a k, ad es. in -j—, 

 dx p 



Sia data una varietà di oo 2n+2 curve storte rappresentate dalle equazioni 



(7) H(X,Y,Z,^ ,a 2 ,...a ìn+2 ) = Q K(X,T,Z,a, , fl 2 , ... ow) = 0 



razionali in X , Y , Z , «i , a% , ... a% n +% • 



Se x, , y. , * 0 , y.' , V , ... , V*" 15 , V.* , , *o ( * +n , - S/o^ 1 ', 



So*- 1 sono 2/fe valori fissati ad arbitrio in C, si consideri la semplice infi- 

 nità r p , g di curve integrali del sistema (6) che soddisfano, per x = x* , alle 

 condizioni 



(8) ,-: > »,,-,.,§*,.«>^*»&*»<* 



(i = l ,2,...p — 1 ,p + l — 1). 



Allora sussiste la proposizione: 



Le curve osculatici in x 0 ,y« , * 0 alle curve integrali r p , z appar- 

 tengono ad una superficie algebrica. 



Col derivare n volte le (7) rispetto ad X, si traggono le 2n derivate 



che sono funzioni razionali di X , Y , Z , a 1 , « 2 , ... a ? „ +? . In esse si faccia 

 X = a ; 0 , y = ?/ 0 , Z = e si indichino le equazioni che ne risultano con 

 QyiiQ*] come pure denotiamo con H , K i primi membri delle (7) ove si 

 sono fatte le stesse sostituzioni. 



Col derivare le (6) n — k volte rispetto ad x, si traggono le derivate 



dx^ U ' y 



d H y d n 2 r ,. - 7 - 



che sono funzioni razionali in Indichiamo con / , y , f f , g>; 



