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df.g — 



ciò che divengono f,y>,fi,g>i quando si fa in esse x = x 0 , ^ = <P IP e 



le sostituzioni (8). 



Allora l'eliminazione dei 2n -f- 2 parametri d , a* , ••• «W2 fra le 

 2/2 + 4 equazioni 



- - - - , , * 

 H = 0,K = 0,H = 0,K = 0,/=0,<I> 2/3> = */ 0 Cp) , Qz P = 



®^ = UQ <il,$ zi = :S ™ (i=l ,2,...p-l + l A— 1) 

 = £ , = <Pr (r = .l,2, ... n — k) 



porta a due equazioni 



,,(x,x,z,0) = o , ,,(x|z;g = o 



che rappresentano, per ogni valore c di^— , la curva di (7) osculatnce a 

 quella curva di r zp che corrisponde a = — . Essendo le due equazioni 



razionali in X , Y , Z , , il luogo delle predette curve osculatrici è una 



dx p 



superficie algebrica. 



Per p = 0, si ha il corollario : 



Le curve di (7) osculatrici alle curve integrali r oz soddisfacenti 



alle condizioni S = ^|| = *o W (» = 1 , 2 , ... A — 1) che si appog- 

 giano alla retta x = x 0 , y = y 0 , 0 ad una curva algebrica % ,*) = 0 in 

 un piano x = x 0 se le (6) sono razionali anche in y, 0 ad una curva 

 algebrica qualunque d^x , y , z) = 0 , 6 2 {x i y,z) = 0 se le (6) sono razio- 

 nali anche in x, appartengono ad una superficie algebrica. 



Come caso particolare, se le (6) sono del primo ordine dei gradi m 



ed n rispetto ai tre argomenti z , ^ , j~ x e dei S radi r ed s ris P etto alle 



due derivate, le tangenti alle curve integrali appoggiantesi alla retta x = x 0 , 



. ... .. . . dy dz 



y=y 0 è una rigata di ordine mr + ns; e se le (6) sono lineari in z , ^ , ^ 



la rigata è una quadrica. 



5. Infine dimostriamo la proposizione: 



Le superfici della varietà di cc n+ì superaci 



(9) 



F(X , Y , Z , Ai , a 2 , ... ftn+i) = 0 , 



