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ove F è razionale in tutti gli argomenti, osculatrici agli integrali del 

 sistema di equazioni differenziali di 'primo ordine 



(10) ^=*M#$M) , ^ = SPi(« , 2/ , 2) , 



c^e se appoggiano ad una retta x = x 0 , y = y 0 se f e <f sono razionali 

 in z,o ad una curva algebrica 6(y ,.g) = 0 posta in un piano x = x 0 se f e (p 

 sono razionali anche in y, 0 ad una curva algebrica qualunque 6i{x ,y ,2) = 0, 

 0 2 (x , y , z) — 0 se f e y sono razionali anche in x , inviluppano una su- 

 perficie algebrica. 



Dalle (10) si deducono per derivazione 



fji^ /fa»*.*) ~ = (fi{x ,y ,z) (4 — 2,8,...») , 



e dalla (9) ritenendo Z e Y funzioni di X si ottiene derivando w volte ri- 

 spetto ad X 



_,, v v _ dY dZ d'Y i% \ : 



i) {{a , i , L , — , — , ... , t , a x , « 2 , —««+1 1 = u (z — l , u , ... n). 



Si indichi con F e F, ciò che divengono F e Fi quando si fa 



X = x 0ì Y = y 0 ,Z = s ,^- r = fr,^ r = (p r (r = 1,2,.,. i). 



Allora se si elimina a x , a% , ... a n+1 fra le /e — {— 2 equazioni 

 F==0,F = 0 , F; = 0 =1,2 , ... n) 

 si ha un'equazione 



<P(X , Y , Z , ) = 0 



che rappresenta per ogni valore di z la superficie di (9) osculatrice alle 

 curve integrali di (10) in un punto della retta x = x 0 , y = y 0 • L'inviluppo 

 di codeste superficie ha per equazione, l'equazione algebrica in XYZ che 

 nasce dall'eliminazione di s fra 



*P = 0 , — = 0. 



In particolare i piani osculatori alle curve integrali di (10) appoggian- 

 tesi alla retta x = x 0 ,y = y 0 , se fi e (p x sono lineari in y e z, invilup- 

 pano un cono quadrico. 



Negli altri casi dell'enunciato, le dimostrazioni sono analoghe. 



