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da me ottenuta non ha in tutto il piano complesso altre radici che i nu- 

 meri primi positivi e negativi. D'altra parte potrebbe essere che tanto questa 

 equazione quanto la funzione rappresentata dal prodotto infinito suddetto, 

 le quali nella forma attuale non hanno se mai altro che un valore teorico, 

 possano tuttavia servire come punto di partenza per nuove ricerche che con- 

 ducano a risultati di maggiore interesse per la teoria dei numeri e che pre- 

 sentino qualche utilità pratica nello studio dei numeri primi. 

 1. Consideriamo il prodotto infinito 



nx nx nx 

 sen — sen — sen — 



sen nx 2__ 3 n 



( 1 ) • * • ... • ••• 5 



nx nx nx nx_ 



~2 ~3 n 



dimostreremo che esso converge assolutamente ed uniformemente entro qua- 

 lunque cerchio di raggio grande a piacere col centro nell'origine e rappre- 

 senta una funzione analitica olomorfa le cui radici sono tutti e soli i numeri 

 interi positivi e negativi (lo zero escluso) ciascuno con un grado di mul- 

 tiplicità uguale al numero dei suoi divisori compreso se stesso e l'unità. 



Prendiamo infatti a considerare un cerchio C di raggio g comunque 

 grande ma determinato avente il centro nell'origine. Sia n<> il più piccolo 



nx 

 sen — 



numero intero positivo per cui si ha n 0 ^> q. Ogni fattore per 



7T OC 



n 



n>-n a e \x\ <.(> sarà sempre diverso da zero; è inoltre soddisfatta la prima 



nx 

 sen — 



condizione lim = 1 necessaria per la convergenza del prodotto. Il 



n 



prodotto infinito può dunque spezzarsi nel prodotto finito 



nx nx 

 sen — — sen 



. , sen nx 2 n 0 — 1 



(2) 



nx nx nx 



e nel prodotto infinito 

 (3) 



2 n 0 — 1 



nx nx nx 



sen — sen j—r sen — 



n 0 n 0 -\-l n 



nx nx nx 



n 0 n 0 + 1 n 



che ha tutti i suoi fattori finiti e diversi da zero entro C 



