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°°- 1 



e poiché la serie - è convergente, tale è anche la (6) e quindi, per un 



i n 



noto teorema, la (4) converge uniformemente dentro C . 



nx 

 sen — 



ti 



Poiché le espressioni — 1 rappresentano funzioni analitiche ad 



7TCC 



n 



un sol valore qualunque sia n, si può affermare per noti teoremi che il 

 prodotto infinito (3) rappresenta entro C una funzione analitica ad un sol 

 valore che si manterrà ivi sempre finita e diversa da zero a causa della 

 convergenza della (4). 

 Il prodotto completo 



nx nx 

 sen — sen — - 

 _,. , sen nx 2 n 



Y(x) = ••• 



nx nx nx 



~2~ n 



rappresenta dunque una funzione analitica olomorfa, la quale si annulla 

 entro C per uno qualunque dei valori che annullano il prodotto finito 



7X00 7T0C 



sen nx . sen — — sen , eccezion fatta per x — 0 e solo per tali 



2 n 0 — 1 



valori. La funzione F(x) avrà dunque entro G una radice semplice per 

 x = ±l, una radice doppia per x uguale ad un numero primo (positivo 

 o negativo), una radice multipla d'ordine \x > 2 per x uguale ad un numero 

 composto (positivo o negativo) avente fi divisori compreso se stesso e l'unità, 

 perchè facendo x uguale ad un intero k minore in valore assoluto di n 0 nel 



prodotto finito sen nx . sen sen — — — - , si annullano semplicemente 



nx 



tutti e soli quei fattori sen — nei quali n divide esattamente k ; per ogni 



n 



TtQO 



altro valore di x ciascuno dei fattori sen — • e quindi il prodotto resta 



n 



nx 

 sen — 



ti 



diverso da zero; per x — 0 avendosi lim = 1, qualunque sia n, al 



<k=o nx 



n 



prodotto infinito deve attribuirsi il valore 1. Poiché tutto ciò vale comunque 

 grande sia stato assunto il raggio q del cerchio C restano pienamente di- 

 mostrate la convergenza e le proprietà enunciate del prodotto infinito (1). 



2. Per mezzo del prodotto infinito P(cc) possiamo ora costruire la fun- 

 zione meromorfa 



sen 3 nx 1 



g W = (nxf (1 — x 2 ) 2 ' Y(x) 



