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 ossia scrivendo per disteso e riducendo 



seir nx 



{nx) 2 {\ — x 2 )'' 



nx 



nx 



nx 



2 seri 



nx 



3 sen 



nx 



n sen 



nx 



n 



avente per sole radici tutti i numeri primi positivi e negativi. 

 Infatti la funzione analitica definita dal quoziente 



sen^ nx 



{nx) 2 (1 — x 2 ) 2 



è uguale all'unità per x = 0, ha un valor finito diverso da zero per cc = =tl, 

 ha una radice doppia per ogni altro numero intero positivo o negativo, ed 

 è diversa da zero e finita per qualsiasi altro valore finito della x ; la funzione 



Q(*) = 



nx 



nx 



nx 



o nx nx 

 2 sen — 3 sen — 



u à 



n sen 



nx 



sen nx 



nx 



F(x) 



è uguale all' unità per x = 0, ha un polo d'ordine fi — 1 per ogni valore 

 intero positivo e negativo della x diverso da rfc 1 che ammette divisori 

 compreso se stesso e l'unità, è diversa da zero e finita per x = z*zl, come 

 si deduce immediatamente dalle proprietà studiate della funzione Y(x). 

 Poiché dunquo soltanto per x uguale ad un numero primo la funzione Q,(x) 

 ha un polo del primo ordine, resta dimostrato che la funzione g(x) ha le 

 proprietà sopra enunciate e ci fornisce quindi, uguagliata a zero, una equa- 

 zione caratteristica dei numeri primi. 



3. Per noti teoremi è facile riconoscere che il prodotto infinito V(x) 

 può derivarsi colla regola ordinaria di derivazione dei prodotti. Eseguendo 

 i calcoli si ottiene per la derivata di P(x) l'espressione 



F(*) = 



sen 



II 



nx- 



n 



_£=i \ n n xj_ 



Dal teorema di Cauchy sui residui si ha 

 1 



2ni Jy ~P(x) 



2 712. 



Y ( — cot — ) I dx = M , 



essendo M la somma dei numeri /li che rappresentano quanti divisori ha 

 ogni numero intero positivo e negativo contenuto entro un cerchio C col 



