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Matematica. — Sopra le congruenze rettilinee solenoidali. 

 Nota di Umberto Cisotti, presentata dal Socio T. Levi-Civita. 



Si consideri nello spazio una congruenza rettilinea, e si indichino con 

 X(x , y , 2) , Y(x , y , g) , Z(x , y , z) i coseni direttori del generico raggio r 

 passante pel punto (x,y, 2). La congruenza sia tale che in ogni punto, 

 del campo che si considera, sia verificata la condizione 



(i) 2f = 0('). 



Essa dà luogo alla seguente interpretazione geometrica. 



Preso a considerare un tubo infinitamente sottile, costituito da rette 

 della congruenza, lunghesso si mantiene costante l'area della sezione nor- 

 male. Profittando di una denominazione, notoriamente usata in questioni 

 fisico-matematiche, chiameremo una tale congruenza solenoidale. 



Mi propongo di far vedere in una prossima Nota come l'intervento di 

 congruenze rettilinee solenoidali si renda necessario in una certa questione 

 idrodinamica. Per ora mi basta di caratterizzarle geometricamente. Ecco il 

 risultato cui si è in definitiva condotti. 



Assunta ad arbitrio, nello spazio, una linea si prenda a considerare il 

 fascio de' suoi piani osculatori e sopra ciascuno d'essi il sistema delle pa- 

 rallele alla rispettiva tangente. Un così fatto sistema di rette costituisce 

 una congruenza rettilinea solenoidale; reciprocamente qualsiasi congruenza 

 rettilinea solenoidale si può risguardare generata in tal guisa. 



1. Vediamo anzitutto di caratterizzare analiticamente la questione. 



Sia una superficie che taglia (in un intorno generico) l' intero sistema 

 di rette della congruenza. Riferiti i punti della superficie ad un sistema di 

 coordinate curvilinee (u , v), la congruenza rimane definita, com'è ben noto ( 2 ), 

 esprimendo in funzione di u , v le coordinate x,y,z dei punti di e ed i 

 coseni direttori X , T , Z delle rette della congruenza. Si ammette che le 

 sei funzioni % , y , 2 ; X,T,Z di u , v sieno finite e continue assieme alle 

 loro derivate parziali. 



Diciamo 0 il punto di incontro della generica retta r con a; allora 

 se t rappresenta l'ascissa di un punto P di r, contata sul raggio stesso a 



C) Conveniamo di attribuire al simbolo 2, senz'altea designazione, il significato di 

 somma rispetto alle lettere. 



(") Cfr. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale (Pisa, Spoerri, 1902), voi. I, 

 pp. 297-298. 



