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2. Consideriamo adunque i coseni direttori X , Y , Z come funzioni dei 

 punti {x,'y ,s) dello spazio, pel tramite — s'intende — del parametro u. 

 La congruenza 



ds 



(in cui si designa con ds l'elemento d'arco) sarà rettilinea, purché i coseni 

 X , Y , Z conservino valore costante sopra le singole curve (8), sia cioè 



dX dJ = d% = ^dh = Jf du = % §1 = 0 

 ds ~~ ds ds ds ds ds 



avendo indicato con un apice la derivazione rispetto ad u. Se si esclude che 

 tutte le X' , Y' , TI sieno nulle (nel qual caso la congruenza sarebbe costi- 

 tuita da rette parallele) le precedenti danno, tenendo presenti anche le (8), 

 la relazione 



du Vv ~* u a 



La (1) diviene 



~òu 



(10) ^ X ^ = °- 



Se alle relazioni (9) e (10) si aggiunge la 2x 2 = 1, che ci dà in par- 

 ticolare 



(11) 2xr = o, 



avremo considerate tutte le condizioni che caratterizzano nello spazio una 

 congruenza rettilinea solenoidale. 



Da esse risulta che le superficie u{x,y,z) = costante, non possono^ 

 essere che piani, ciascuno dei quali contiene le due direzioni ortogonali 

 (X,T,Z) e (X' ,Y',Z'). 



Sia perciò 



(12) Aa + By + C« + D = 0, 



* _ .— ' — - 



dove A,B,C,D sono funzioni arbitrarie del parametro u, l'equazione che 



definisce, nel modo più generale, il sistema di piani u = costante. 



Osservando che i coseni direttori delle normali a questi piani sono pro- 

 porzionali tanto a M,^ M quanto ad A , B , C , le (9) e (10) diven- 

 gono rispettivamente 



(9') 2ax = o, 



e 



2AX' = 0 ; 



