mutabilità delle funzioni f, <p , ip ; essa si riduce facilmente alla (1) quando 

 queste funzioni siano permutabili. 



A questo proposito ricordiamo quanto fu osservato nel § 7 della Nota 

 citata, cioè che i teoremi IV e V della Nota stessa e le loro conseguenze 

 possono estendersi anche al caso di funzioni non permutabili e quindi la 

 risoluzione generale delle equazioni integrali ed integro-differenziali può 

 estendersi anche al caso in cui si abbia da che fare con funzioni non per- 

 mutabili. Così, per esempio, se avremo l'equazione integrale ( l ) 



J X 



•J'ai 



+ a'if+A , £) fg , y) # = 2 0 <P 0 (x , y) , 



•J X 



in cui le. potenze di / denotano operazioni di composizione, se sviluppiamo 

 / in serie di potenze di g Q , , ... z m , lo sviluppo sarà valido qualunque sia 

 il modulo di questi parametri ed il valore assoluto delle costanti a x ... a m 

 e delle funzioni <P 0 , <P X , ... tf> m (anche se queste funzioni non saranno per- 

 mutabili fra loro) purché i valori stessi siano finiti e ai % 0 . Quando <P 0 , 

 <P X , ... <P m saranno permutabili, la soluzione assumerà la forma semplice 

 che discende dallo sviluppo in serie della radice d' una equazione algebrica. 



5. L'operazione di composizione è estendibile al caso di funzioni di 2n 

 variabili. Così potrà considerarsi l' integrale 



I ... I n d% n F^aJi , ... x n £„) F 2 (f 1 , ... , ... «/«) dìi - d% n . 



*J (Xi *J Ctn 



Supponiamo che 



i<i = x x , a 2 = x 2 , ... cc h — x h , «/H-i - 0 , a h+ì = 0 , ... a„ = 0 



01 = */l i 02 = «/2 , — $h = Vii: Ph+l = 1 ? #H-2 = 1 , ... 0n = 1. 



Se il detto integrale sarà eguale a 



) F,^! ... % n \y 1 , ... y w ) ^! ... dg n , 



Fi e F 2 saranno permutabili. 



Se h~5^\ si potranno estendere a questo caso le proposizioni date per 

 la composizione di prima specie. 



Sotto questo punto di vista la teoria svolta per l'equazione integro- 

 diiferenziale (A) può estendersi al caso in cui in essa figuri un integrale 

 multiplo anziché semplice. 



OJ Cfr. Nota citata, § 4, pag. 173. 



