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Ne segue che, con una nuova trasformazione, potremo ricondurci al 

 caso in cui si cerchino le funzioni 'permutabili con ¥{x , y) ~, essendo 



(4) F(a;,a?) = l , F l (x,x) = 0 , F 2 (a; , x) = 0 . 

 4. Supposte soddisfatte le (4) poniamo 



avremo *P(# , x) — 0 , e 



(5) = <*> (a? ,30+ f V* , 1) . 2/) # 



"Sa? >-/a; 



Scriviamo poi 



F 2 (a; , ?/) - Fl(a; , y) + F*(cc , y) — - = /",(* , y) , 

 Fi(« , y) + Ff(as , */) + ¥\{x , y) + - = fax , y) , 



ove le potenze denotano operazioni di composizione. 

 Si avrà 



(6') ^^--^-frf»^ 4 *' 



quindi sottraendo 



Da? ~ì>y . \_ Ss _J 



e con integrazioni per parti, tenendo conto che 



*(a? , ce) = W(y ,y) = f 1 (x,x) = f 2 {y ,y) = 0, 



ove 



Ne segue che, il problema di trovare le funzioni permutabili con 

 ¥(% ,y),è ricondotto a risolvere l'equazione integro-differenziale (A). 



