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§ 3. — Teoremi sulle funzioni permutabili. 



8. Dalla (B) segue 



ÌP( X y) 



hm = ^ = t 



y=x y — x rw 



Ma dalla (Y) si ha 

 quindi sarà 



, x) = cost . 



Questa proprietà vale per le funzioni F(* , y) e , y ) che abbiamo 

 ottenute per mezzo delle trasformazioni (2) e (3) in modo da ridurre la F a 

 soddisfare alle condizioni (4). Ora, se vogliamo tornare alle funzioni primi- 

 tive, dovremo dividere ambedue per la stessa funzione ^ l/f'(x) f'(u) 



. ■ a (il) r v ' 1 ' 



quindi potremo enunciare il yj/ 



Teorema I. — Se <P(x , y) è una funzione permutabile con FU , y) 

 tale che F{x ,x) > 0 , avremo 



4>{x . x) _ 



ni/ \ — COSt . 



F(x , x) 



9. Teorema II. — Se le funzioni -permutabili F(x , y) e ®(x , y) , 

 aventi le derivale determinate e finite, sono tali che 



F(x , 0 W(x ,x) = Ó, 



si potrà determinare la funzione permutabile con esse, in modo 



che 



FQ(x,y) = V(x,y) (i). 



Infatti, posto 



£®{x , t) , y) d£ = «P(aj , y) , 



(') Vedi la notazione adottata per la composizione di due funzioni permutabili: Que- 

 stioni generali sulle equazioni integrali ed integro-differenziali, § 1. 



