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Teorema IV. — Se la funzione *P(x , y), permutabile colla funzione 

 di primo ordine F^a ,y), è tale che il 



lim 



è finito e diverso da zero, *P(x ,y) sarà di ordine n. 



Teorema V. — Se la funzione *P(x,y), permutabile colla funzione 

 di primo ordine F x (x , y), è di ordine n , sarà 



1 iP{x ,y) ' ' 



-j^r lim - — > — = cost < 0 . 



[Pi(x , x-)] n (y — x) n ~ l 



Osservazione. — Supponendo che *P abbia la forma (14), posto 



F 2 (a; , x) _ F 3 (x , x) F g {x , x) ®{x , x) 



F x (x , x) ~ ° 2 ' F^ , a) ~~ * 3 ' F,{x ,»)~"^' F,^ , x) ~ 6 ' ' 



la costante che figura nel teorema precedente sarà 



oc 3 oc 3 otg 



^2 ^3 ••• Cq C 



{n — l)Ì~ ' 



12. Sia *P(x , y) una funzione permutabile colla funzione di primo or- 

 dine F(x , y) e sapponiamo che ambedue queste funzioni abbiano le derivate 

 successive determinate e finite. 



^}{oc OC) 



Poniamo la costante -=j — '—r = c x (vedi teorema I) e consideriamo 



Jb [OC , OC) 



W(x,y) — c,F(a?j); 



questa funzione sarà permutabile con F(x , y) e sarà di ordine superiore al 

 primo, quindi (teorema II) 



V(x ,y) = Cl F(x , y) + f "f{x , ?) ^(f , y) rf? ; 



in cui ®i è permutabile colle funzioni precedenti. 



Applicando alle (P x la formula ora trovata per *P potremo scrivere 



V{x , y) =4 F(x ,y) + c 2 F*(x , y) + f V(# , £) <P t (f , y ) d$ , 



J ce 



in cui Ci è una quantità costante; così procedendo innanzi troveremo il 

 Rendiconti. 1910. Voi. XIX, 1° Sem. 57 



