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Teorema VI. — Se la furinone *P{x , y) è permutabile colla funzione 

 di primo ordine F(x,y), e queste funzioni hanno le derivate successive 

 determinate e finite, sarà 



V{x ,y) = c l ¥(x , y) + c 2 ¥ 2 (x ,y)-\ {- c n ¥ n {x , y) + 



in cui le potenze denolano operazioni di composiziene, e la funzione <P n 

 è permutabile colle funzioni date. \ 



Se col crescere indefinito di n l' ultimo termine tenderà a zero, ^(x,y) 

 sarà rappresentata dalla serie 



|> w F»(a;,y). 



13. La formula (B) dà le funzioni di secondo ordine e di ordine supe- 

 riore al secondo permutabili con ¥(x , y), quindi per ottenere tutte le fun- 

 zioni permutabili con F(x , y) basterà aggiungere alla espressione (B) 

 Ci~F(x,y) con c x costante arbitraria. Si può dunque fare a meno della riso- 

 luzione della (5) o della (6), come è indicato alla fine del § 2. 



§ 4. — Funzioni permutabili coli' unità. 



14. Riprendiamo le formule del § 1, supponendo ¥(x , y) = F(y — x) 

 e F(O) = 1 , F'(0) = 0. 



Avremo 



f*{x ,y) = — f\{x ,y) = f(y — x) 

 g i2 (x,y)= gìi{x,y) = — f'(y—x). 



Applicando dunque la (8) del § 2, resulterà 



^ = 1 , «p 2 = 0 , «P 3 = 0 , ... *P W == 0 , ... 



e quindi 



qs = o(y — x) , <D = <p(y — x ). 



Le considerazioni svolte nel § 1 mostrano che <P dovrà avere la stessa 

 forma anche se non si verificherà la condizione F'(0) = 0 . Si ritrova così 

 il gruppo di tutte le funzioni permutabili fra loro e con una costante, ossia 

 permutabili coli' unità 



(') Questioni generali sulle equazioni integrali ed integro-differenziali, § 2. 



