— 435 — 



15. Considereremo in questo § le funzioni di questo gruppo soltanto. 

 Posto y — x = u, le funzioni stesse si scriveranno come funzioni dì u e la 

 composizione di due di esse 3> e *P ci darà 



J"u fu 

 ®{u — v) ^{v) dv = Q(v) «P(« — v) 



dv . 



Posto CP(0) = c , «*(0) = c\ avremo 



da cui si ricava 



A 

 du 



(15) -f (<*>») = cW-^u) + f"- 1 ^» = (c + <P') a*"- 1 , 



(15') ^ (® n (u)) = {c + #') m < P" _m per n > m , 



(15") + 



16. Queste formule servono per risolvere immediatamente il problema 

 seguente : 



Data la funzione F(u) di ordine n, tale che 



F(0) = 0 , F'(0) = 0 , ... P <n - 2, (0) = 0 , F ( "-"(0) = 1 , 



risolvere l'equazione integrale 



(16) <D»( a ) = F(«). 



Osserviamo che 



e pel teorema V 



r PW _J 



2 u^~{n-l)ì 



lim^ = 



^u n ' x (» — 1)! 



avendo posto <P(0) = c . Ne segue che c è una radice n esima dell' unità. Pren- 

 diamo c = 1 ; le soluzioni che corrispondono agli altri valori di e si otter- 

 ranno, come vedremo, immediatamente. 



Deriviamo ora l'equazione (16) n volte rispetto ad In virtù della 

 (15") otterremo l'equazione integrale 



(l + <P') n — 1 =f{u). 



ove con f(u) si è denotata la derivata n esima di F(w). 



