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8. Se il corpo ruota intorno ad un asse normale al piano Ci , che as- 

 sumeremo come asse delle a, si conserverà costante, in ogni punto di a 

 oltre al potenziale \p, il coseno « , come pure il momento yy — fa; onde 

 la forza F x sarà ancora espressa dalla formula (5), quindi diretta verso il 

 piano <r 1 . Essendo poi, su questo piano, yy — fa — 0 (£ = y = 0), il mo- 

 mento delle forze pda rispetto all'asse di rotazione sarà nullo. 



9. Notiamo, infine, che se si hanno due corpi uguali limitati dalle su- 

 perficie a , <s 0 , i quali siano inizialmente, e si conservino, nel loro movimento, 

 simmetrici rispetto ad un piano ff,, e se la massa liquida occupa lo spazio 

 esterno rispetto ai due corpi; l'azione esercitata sopra uno di essi sarà la 

 stessa come se il piano e, fosse una parete rigida. Se, per conseguenza i 

 due corpi si muovono di moto traslatorio uniforme parallelamente al piano 

 di simmetria, essi saranno attratti l'uno verso l'altro. 



Lo stesso avverrà se essi ruotano, con velocità angolari uguali e co- 

 stanti, intorno ad una retta normale a questo piano ; a meno che non siano 

 solidi di rotazione, aventi per asse quella retta: nel qual caso la massa li- 

 quida sta in quiete, e sopra i due corpi non viene esercitata alcuna azione. 



Matematica. — // teorema di Osgood nel calcolo delle va- 

 riazioni degli integrali multipli. Nota di Guido Fubini, pre- 

 sentata dal Socio E. D'Ovidio. 



1. Ricordiamo il teorema di Osgood, relativo al problema più semplice 

 di calcolo delle variazioni. Sia C una curva y = <f(x) terminata a due punti 



A , B che rende minimo l' integrale <p{x ,y,y')dx, dove a , b sono le 



ascisse di A , B . Ammesse soddisfatte certe ipotesi relative alla funzione f 

 di x,y ,y, per la cui precisa enunciazione rinvieremo ai trattati del Bolza (*) 

 e dell' Hadamard vale un teorema, dovuto a Osgood, e che noi enuncie- 

 remo nella forma seguente : 



Si può determinare un contorno R ^' C, che soddisfa alla seguente 

 condizione. Per ogni punto P di R non posto su C , esiste un numero po- 

 sitivo e non nullo « > 0 , tale che il valore del nostro integrale relativo 

 a una qualsiasi curva y = y{x) passante per P e terminata ai punti A,B 

 supera il valore del nostro integrale relativo alla curva C di una quan- 

 tità non minore di e. 



Questo teorema non vale per i problemi di variazione relativi a integrali 

 multipli : dal che segue una profonda differenza tra i problemi di variazione 



b 



a 



(') Bolza, Vorlesungen ùber Variationsrechnung, pag. 280. 

 (*) Legons sur le calcul des variations, p. 477 et suiv. 



