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relativi agli integrali semplici e quelli relativi agli integrali multipli. Ciò 

 non ostante l'esame di alcuni casi più semplici mi persuase che qualche teo- 

 rema analogo si potesse dimostrare anche per gli integrali multipli ; questa 

 previsione trovò conferma nel teorema, a cui sono dedicate le pagine seguenti. 



Sia f(x , y , z ,p , q) una funzione di x,y,z,p,q finita e continua 

 insieme alle sue derivate prime e seconde in tutto il campo che considere- 

 remo. Se 2 è un pezzo di superficie z = z(x , y) terminato a un dato con- 

 torno K , noi indicheremo con 3(2) V integrale j J f(x , y , z ,p , q) dx dy , 



dove si è posto = — , q = — , e <f è l'area racchiusa sul piano xy 



~òx ~òy 



dalla proiezione di K su tale piano. 



Sia S un pezzo di superficie z = (p(x,y) terminato a K, per cui J(S) 

 ha il minimo valore ; più precisamente esista un intorno R di S tale che, 

 se 2 è un pezzo di superficie z = z(x , y) terminato a K e posto in R , si 

 abbia 3(2) > J(S). 



Supporremo naturalmente soddisfatta in R la condizione di Jaeobi : 

 supporremo cioè l'esistenza di un campo di superficie estremali per il nostro 

 problema di minimo, tale che per ogni punto di R passi una e una sola 

 superficie estremale del campo considerato. La S faccia parte di questo 

 campo; vale a dire quella delle estremali del nostro campo, che passa per 

 un punto di S, coincida con S. Sia \p(x , y , s) = cost l'equazione delle 

 nostre oo 1 estremali; e sia xp(x , y , 2) = 0 l'equazione di S. Sarà identi- 

 camente 



(1) y{x,y , <f{x , y)) = 0. 



Siano ti , x le derivate di s rispetto a x ed y prese su una di queste su- 

 perficie estremali. Sarà 



(2) n ^ • X = -^ 



quando si supponga in R 



ipotesi quasi equivalente all'altra che per ogni punto di R passi una e una 

 sola estremale xp = cost (su cui la z è funzione delle x , y). 



Supporremo soddisfatte le condizioni di Legendre e Weierstrass in una 

 forma iva. po' più restrittiva di quella necessaria, affinchè la S renda proprio 

 minimo il nostro integrale. Più precisamente supporremo che (impicciolendo 

 caso mai l'intorno R), per tutti i valori di x. , y , s in R e per valori qual- 

 siasi delle p , q , si abbia 



. /;;>o , /^>o, 



