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mentre le espressioni 



f" 111. > j, p f Lei. > k 



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hanno limiti inferiori h , # positivi e differenti da zero. Anzi ci basta sup- 

 porre che queste condizioni siano soddisfatte per una opportuna scelta delle 

 variabili indipendenti x , y. Se però supponessimo in più che f' p ' p f' q ' q — f'^ 

 ha un limite inferiore diverso da zero, le condizioni da noi ammesse sareb- 

 bero invarianti rispetto a ogni cambiamento di variabili. Ma questa ulteriore 

 limitazione ci è superflua. 



Nelle nostre ipotesi, se 2 è un'altra superficie s = z(x, y) terminata 

 a K e posta in R, la differenza J(2) — J(S) si può rendere piccola a piacere, 

 anche imponendo a 2 la condizione di passare per un punto A di R, non 

 posto su S. Tanto basta per affermare che il teorema di Osgood non vale 

 per gli integrali che stiamo esaminando. Un fatto analogo si presenta anche 

 se a 2 imponessimo di passare per un numero finito di punti di R, non 

 appartenenti a S . Ma, se invece imponessimo a 2 la condizione di contenere 

 tutto un pezzetto di superficie assegnato e posto in R, allora la differenza 

 J(2) — J(S) non potrebbe generalmente più essere ridotta piccola a piacere. 

 Ma il teorema di Osgood, generalizzato in questo modo, diverrebbe affatto 

 banale e di nessun interesse. Però queste osservazioni ci conducono a cer- 

 care di generalizzare il teorema di Osgood, indagando se esista qualche 

 classe di gruppi G di punti tali che, se 2 è costretto a contenere i punti 

 di un tale gruppo G , allora la differenza J(2) — J(S) non si possa più ren- 

 dere piccola a piacere. Tali gruppi G dovranno, per così dire, essere inter- 

 medii tra i gruppi formati da un numero finito di punti, e i gruppi formati 

 da un pezzetto si superficie. E, da questo punto di vista, l' idea prima che 

 si presenta è quella di esaminare i gruppi G formati dai punti di un pezzetto 

 di una curva. E noi dimostreremo appunto che il teorema di Osgood è gene- 

 ralizzabile in questo senso. Noi dimostreremo anzi un risultato più generale. 

 Per ottenerlo osserviamo che, tanto un gruppo Gì formato da un numero 

 finito di punti, quanto un gruppo G formato coi punti di un pezzetto di 

 curva, hanno per proiezione sul piano xy gruppi di punti a misura super- 

 ficiale (area) nulla ; però tra i gruppi G, e G vi è questa differenza essen- 

 ziale: che, mentre la proiezione di Gì ha, per così dire, misura lineare 

 (lunghezza) nulla, il gruppo G non è linearmente nullo. Quest'ultima frase 

 acquista un valore preciso con la seguente definizione: 



Diremo che un gruppo G di punti è linearmente nullo, se i piani 

 a: = cost, o z/=cost, che contengono un punto di G, formano un gruppo 

 di misura lineare nulla 



(*) Questa definizione è simile, ma non del tutto identica, alla analoga definizione 

 data dall'A. al § 2 (pag. 5) della Memoria: Il principio di minimo e i teoremi di esi- 

 stenza ecc. Eend. del Circolo Matematico di Palermo, 1907, tomo 23. 



