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E noi dimostreremo (ammesse soddisfatte da f e da R le ipotesi sopra 

 enunciate) : 



Se G è un gruppo di punti non linearmente nullo, esiste ma costante 

 e positiva diversa da zero, definita da /\ S e dal gruppo G, tale che per 

 ogni superficie 2, definita da un'equazione z = s(x , y), contenente i punti 

 di G e terminata al contorno K sia J(2) — J(S)^«. 



Naturalmente supponiamo che, se z = z(x , y) è l'equazione di 2 , — e 



~òz . r~òz 



— siano finite e continue in «r; basterebbe del resto supporre che — dx 



^y J ix 



— dy esistessero, e differissero da z rispettivamente per una funzione 



della sola y, o della sola x. 



Osserviamo che, se il nostro teorema non fosse vero, si potrebbe tro- 

 vare una successione di superficie definite rispettivamente da un'equa- 

 zione s = g> n (x , y) , terminate a K , e contenenti tutti i punti di G , in 

 guisa che 



lim [J(2„) — J(S)] = 0 ossia lim J(2 n ) = J(S) . 



n—co »=oo 



Poiché il limite per n*=ao di 3(2 n ) è il valore minimo J(S) le superficie 

 2 n (z — g>„) costituirebbero una successione minimizzante. E ciononostante in 

 ogni punto (x , y) del piano xy, proiezione di un punto di G , il valore 

 di (f„(x , y) non vallerebbe con n , e sarebbe distinto da <p(x , y). Se dunque 

 5Pi, , (fi t , ... è una qualunque successione subordinata alla successione delle 

 ff n , in tutti questi punti sarebbe lim g>i n (x , y) =f= q>(x , y). E questi punti 



K = oo 



formerebbero un aggregato non linearmente nullo. 



Noi avremo dunque dimostrato il nostro teorema, se proveremo che 

 nelle nostre ipotesi: 



Se s — <p n {x , y) è una successione minimizzante, si può scegliere una 

 successione subordinata g>i l , g>i a , <jPi 3 , ... tale che lim q> in = g> in tutti i 



n—co 



punti di ff, escluso al più un aggregato di punti linearmente nullo. 

 La funzione E di Weierstrass è data dalla 



E == f(pt> , y , g , p , ; q) — f(x ^ , s , n , x) — 



che, per la formola di Taylor, si può scrivere: 



E — | [Bfr - tzY + 2S(^ -7t)( q - x ) + T(q - *) 8 ] , 



(*) Affinchè questo sia possibile, i punti di G devono avere le loro proiezioni sul 

 piano xy, tutte interne a ff; e punti distinti di G devono avere proiezioni distinte. Questa 

 ipotesi è fatta tacitamente in tutta la Nota. 



