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dove R , S , T sono valori intermedi! di f" n , f'; q , f q \ . Per le nostre ipotesi 

 R>0,T>0,R--|> £>0,T--|> h>0, 



cosicché 



(R_^)T — S 2 > 0 , (T-À)R-S 2 >0. 



Dalle R > 0 , T > 0 e da queste ultime disuguaglianze si deduce che 

 le forme 



(R_ A ) f2 + 2S?ry + T J j 2 , K£ 2 + 2S^ + (T - h) f 



nelle variabili £ , tj non hanno mai valori negativi, comunque si scelgano 

 valori reali per le variabili £ , q . Quindi : 



2E = E(p - nf + 2S(^ - n) (<?-*) + T(q - *) 2 > k(p - nf 

 2E >%-*) 2 ; 



donde, sommando e indicando con l la minima delle costanti - — si trae • 



4 ' 4 1 



E > il(p — 7ry + (q- x f\ (l = cost;l>0). 



Ora J(2 n ) — J(S) è per i noti teoremi di Hilbert e Weierstrass eguale 

 all'integrale di E relativo alla superficie 2 n , vale adire all' integrale °di E 



esteso a a ove si ponga ,p=^p nS=s ^. , ?== ^ = ^l . Quindi 



per l'ultima disuguaglianza si avrà: 



(3) J (2 n ) - 3(8) ^Ijjj (Pn — ny + (q n - *) 2 j dx dy . 

 Posto 



fZ n = (x,y., <p n ) , P M = ^ , Q n = ^, 



sarà: 



"Da; Da "à* Da — "te d* ^ n 

 (z = <p n (x,y) ; V = V(» , y , *)) 



donde per le (2) 



E similmente 



Q» 5 *^ (?»-*) (* = *„). 



