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Se con M indichiamo il massimo in R della funzioue continua j — 



sarà dunque 





Pn 





Qn 



| p n — TI | > 



M 



\q n — *\— 



M 



E dalla (3) si trarrà: 



j(*0 - J(S) > ^ JjV» + <£) rftf • 



Poiché per le nostre ipotesi il primo memoro di questa disuguaglianza ha 

 per n = cc limite nullo, sarà a fortiori 



lim jT(P* + Q„V* = 0. 



n~oo <J J a 



Ora sul contorno K è y„ = y, poiché S e I„ passano tutte per K; 

 sulla sua proiezione sul piano xy, ossia sul contorno di <s sarà dunque per (1) 



Z n = \p{x,y, <f n ) = #s ,».,y) = 0 (sul contorno di tf). 



Le funzioni Z n costituiscono dunque una successione minimizzante per 

 il problema (di minimo) di trovare tra le funzioni nulle sul contorno di e 

 quella funzione Z (finita e continua insieme alle derivate prime), per cui 



l' integrale JJV* + Q 2 ) d<f ( p = ^ > Q = ha 11 minimo valoi ' e - 



Questa funzione Z è chiaramente la funzione Z = 0 ; e per un teorema dato 

 nella mia Memoria citata si potrà trovare nella successione delle Z„ una 

 successione subordinata Z,-, , Z ia , ... tale che lim Z,- n = 0 , escluso al più 



aggregato di punti linearmente nullo. Escluso al più un tale aggregato, 

 sarà dunque lim if){x,y, (p in ) = 0 = ip{x , y , y). Poiché la funzione — 



n=oo 



è continua, e differente da zero, essa ha un minimo non nullo; la prece- 

 dente uguaglianza dimostra (per il teorema della media) che sarà lim q> in = <p 



tt=oo 



in tutto <r, escluso al più un aggregato linearmente nullo (') c. d. d. 



Questi risultati com'è ben chiaro, fanno anche accrescere la speranza che 

 il cosiddetto principio di minimo di Dirichlet possa ricevere nuove applica- 

 zioni, e diventare un ancóra più efficace strumento di ricerca. 



(») Infatti la nostra forinola si può scrivere tp' z [(p in — cp] = 0 , dove ip' z indica un 

 certo valore di ^ . 



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