Matematica. — Sopra una proprietà delle trasformazioni 

 birazionali nello spazio ordinario. Nota del prof. M. Pannelli, 

 presentata dal Corrispondente G. Castelnuovo. 



1. Il Cremona nella seconda delle sue classiche Note: Sulle trasfor- 

 mazioni geometriche delle figure piane ('), basandosi sulla considerazione 

 del numero dei punti doppi delle curve del fascio, che sopra uno dei due 

 piani dati corrisponde ad un fascio di rette dell'altro, ha dimostrato il se- 

 guente teorema: 



« Se fra i punti di due piani ha luogo una corrispondenza birazionale 

 « con soli punti fondamentali ordinari, il numero di questi punti è lo stesso 

 « per entrambi i piani » . 



Ma di questa proprietà si può dare ancora un'altra dimostrazione. 



Suppongasi di avere una rete qualunque di curve d'ordine », dotata 

 di o" punti-base ordinari , ciascuno multiplo seoondo l . La sua Jacobiana 

 è una curva dell'ordine 3(» — 1), e possiede ogni punto P t come punto mul- 

 tiplo ordinario secondo 3/— 1. Quindi il genere n di questa Jacobiana e 

 quello p di una curva della rete, sono dati rispettivamente dalle formule : 



2tt = (3n — 4) (3n — 5) — ^(81 - 1) (31 - 2) 



(1) 



2p = in — l)( n -2)- %l{l — 1) 



dalle quali segue subito: 



« Il genere n della Jacobiana di una rete qualunque di curve di ge- 

 « nere p , dotata di e punti fondamentali ordinari, è somministrato dalla 

 « espressione : 



ti = 9p — a -\- 1 » . 



In particolare, se la rete data è omaloidica, si ha p = 0 , e quindi in 

 virtù del teorema precedente, applicabile in ogni caso, quando come genere 

 della Jacobiana s'intenda sempre il numero calcolato per mezzo della for- 

 mula (1), si trova: 



(2) Tt=l-C. 



D'altra parte la data rete omaloidica definisce una corrispondenza bira- 

 zionale fra i punti del piano in cui essa giace e quelli di un altro piano, 



t 1 ) Memorie dell'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, t. V, ser. 2\ 

 Rendiconti. 1910, Voi. XIX, 1° Sem. 59 



