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e se si indica con a' il numero dei punti fondamentali di quest'ultimo 

 piano, la Jacobiana della rete si compone (') di a' curve razionali, due qua- 

 lunque delle quali non s intersecano fuori dei punti fondamentali. Quindi 

 il genere n di questa Jacobiana può determinarsi ancora, applicando la for- 

 mula con cui si calcola il genere di una curva composta, genere di cui la 

 definizione è in accordo con quella dianzi data in ogni caso per la Jacobiana 

 stessa. In tal modo si ottiene: 



7i=l — a'. 



Dal confronto di questa formula con la (2) segue il teorema del Cre- 

 mona, sopra ricordato. 



2. Se le considerazioni precedenti si ripetono per lo spazio ordinario, 

 si giunge a stabilire una relazione notevole fra gli elementi fondamentali 

 di due spazi, i cui punti siano legati fra loro da una corrispondenza bira- 

 zionale. 



La dimostrazione di questa relazione costituisce l'oggetto della pre- 

 sente Nota. 



Suppongasi di avere un sistema lineare triplamente infinito di super- 

 ficie S d'ordine n, di cui la base sia formata da e punti Pì e da t curve Gì'. 

 Ogni punto Pj sia multiplo (ordinario) secondo l per ciascuna superficie S , 

 e il cono in esso tangente alla superficie medesima vari col variare di questa 

 nel sistema dato. Inoltre ogni curva Gì , d'ordine m e di rango n , sia mul- 

 tipla (ordinaria) secondo i per ciascuna superficie S , e gli i piani tangenti 

 in uno stesso punto di Ci alla superficie medesima varino tutti col variare 

 di questa nel sistema dato. Infine ogni curva Ci si appoggi ad ogni altra 

 curva Q,j{j >i) in kg punti e passi per ogni punto Pj con fu rami. 



La Jacobiana del sistema dato è una superficie dell'ordine 4(» — 1) 

 e possiede ogni punto P 2 come punto multiplo secondo U — 2 ed ogni 

 curva Ci come curva multipla secondo U — 1. 



Il genere aritmetico n di questa superficie, quello P di una superficie S 

 del sistema, l'invariante Sì di Castelnuovo-Enriques relativo alla superficie 

 medesima e il genere p della curva d' intersezione, fuori delle curve fonda- 

 mentali, di due superficie S , sono rispettivamente date dalle formule : 



6//=64/i 3 - 288»* -f- 428»- 210 - 2(64Z 3 - + 104/ - 24) 



i 



— 2[(192* 2 — 144? + 24) n — (128e 3 + 144* 2 — 164; + 30)] m< 



■i 



_|_ 2(64? 3 — 72i 2 + 26« — 3) r t 



i 



-J- 2[(192e* — lUi + 24) j — (64* 3 — 28* + 6)] hy 



4- V[(1'922 8 — 144* + 24) l — (128* s — Mi + 12)];« 

 fi 



H Cremona, loc. cit, nn. 6 ed 11. 



