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3. In particolare, suppongasi che il sistema dato sia omaloidico. In tal 

 caso si ha intanto: P = 0 e ^ = 0. Inoltre il sistema stesso definisce una 

 corrispondenza birazionale fra i punti dello spazio 2 cui esso appartiene e 

 quelli di un altro spazio 2'- Quindi se si indica con fi' la somma degli 

 ordini di tutte le curve fondamentali di 2\ una superficie S corrispondendo 

 ad un piano di 2'i contiene p' curve eccezionali, epperò l'invariante di 

 Castelnuovo-Euriques ad essa relativo è dato dalla formula: 



(5) fi = 10 — p. 



Ciò nell' ipotesi, tacitamente ammessa anche nel numero precedente, in 

 cui lo spazio 2 BOn contenga punti fondamentali semplici per le superficie S, 

 poiché per ognuno di questi punti l'invariante fi aumenta di una unità. 



In questa ipotesi dal teorema del num. prec. si deduce intanto: 



(5') n = — V + 4ff + ip — q — . 



D'altra parte la Jacobiana del sistema dato si compone delle v' super- 

 ficie ]tV e delle ex' superficie %> di 2 corrispondenti alle r' curve fondamen- 

 tali CV ed ai a' punti fondamentali PV di 2', ogni superficie Tv dovendo 

 essere contata due volte { l ) se, come qui si suppone, il sistema omaloidico 

 di X soddisfa alle medesime condizioni imposte al sistema di superficie S 

 considerato nel n. 2. Quindi il genere aritmetico TI può essere determinato 

 ancora applicando alla superficie 2 R <' + 2 2T >' la formula con cui si cai- 

 cola il genere aritmetico di una superficie composta. In tal modo e riguar- 

 dando momentaneamente la superficie composta come una superficie 

 unica, R, si trova: 



n= g.a.E + 22<KRTv) + %g{%> Tv) + 4^g(%, T*) 



(6) + V(RT, T„) + 2(MV Tv) + Wi'Wv) ~ ( 2 2 ') > 



T vw l'h' \ / 



dove g.a.'R indica il genere aritmetico della superficie R, i simboli g{A.B) 

 ed (ABC) denotano rispettivamente il genere della curva e il numero dei 

 punti d'intersezione, fuori degli elementi fondamentali, di due superficie 

 A e B o di tre superfìcie A , B , C , e l' indice k', deve, come l\ variare 

 da 1 sino a a\ ma in ciascuno dei simboli (TyTy) , (RTvTy) , (TvTvTy) 

 non può assumere il medesimo valore di V. 



a) In virtù dello stesso teorema sul genere aritmetico di una superficie 

 composta, testé applicato, si ha: 



(7) g.a.H = g.a.^BLy = ^g.a.ìv + %) + % - (^7 ) 



(') Noether, Sulle curve multiple di superficie algebriche, § IV. Annali di Mate- 

 matica, ser. II, t. V. 



