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locali e i valori efficaci che spettano rispettivamente ai polinomi P„ e T K , 

 dando un criterio numerico per apprezzare, al variare del grado n , i van- 

 taci degli uni in confronto degli altri, a seconda del punto di vista adot- 

 tato. Ho* potuto così mettere in luce un'importante proprietà dei polinomi 

 di Tchebychef, vale a dire che sebbene essi non facciano discendere il va- 

 lore efficace proprio al minimo, non lo superano per più del 15 % , il valore 

 relativo dell'eccesso convergendo assintoticamente verso -^=— 1 (13% circa), 



al crescere indefinito di n. Invece per i polinomi P w la massima deviazione 

 locale pur decrescendo rapidamente al crescere di n , supera di molto il mi- 

 nimo di Tchebychef, il relativo rapporto essendo dell'ordine di \ f n. 



1. Indichiamo con X„ il polinomio sferico di grado n: esso e dato 

 dalia formola 



1 d n 



(4) X * = 2.4-6-...-2» ] {X% ~ lY[ ' 



I 



(5) 



polinomi sferici godono, come è noto, delle seguenti proprietà: 



j^X m X n dx = 0, {m>n), 



r+1 _ 2 

 X», doo - ■ - 



(6) J_, ^ ax = 2» + 1 • 



Oltre a ciò, se Q è un polinomio qualunque di grado inferiore ad 11, 

 abbiamo dalla (5), oppure mediante integrazione per parti, 



,( 7 ) j QX„ dx = 0 . 



I polinomi 



(8) P « = l2^)T An 



godono essi pure, come è chiaro, della proprietà (5) e quindi anche della (7). 



Dalla (4) risulta tosto che P w è della forma (1) ed è facile riconoscere 

 che fra i polinomi di grado n di questa forma, è desso precisamente quello 

 che rende minima l'espressione (3). 



Indichiamo con f n un polinomio qualunque della forma (1): basterà 



evidentemente dimostrare che 



£\fl-?l) dx 



