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è positivo o nullo. A tal uopo si osservi che f n si può sempre considerare 

 come una combinazione lineare dei polinomi P„; possiamo porre cioè 



fn = C 0 + C 1 ? l + ? 2 P 2 + • • • + Cn-l P«_l + Pn, 



o, più brevemente, 



(9) fn == Qrt-l ~f- ?n i 



ove Q n _i = c 0 -}- Ci Pi ^2?2 + " • ' + <?n-iPn-i è un polinomio di grado 



n — 1 al più. Dalla (9) abbiamo 



fn Pn = Ql-l + 2Q n _!P n 



e quindi 



£\fl - ?l) dx =£*Q*-i dx + 2 J^V-i P« 



Il primo integrale del secondo membro, ove non sia nullo, è essenzial- 

 mente positivo: mentre, per le suaccennate proprietà dei polinomi P„, 



J~ Qn-i P„ dx = 4è 



Dalle (6) e (8) segue immediatamente 



2* n+1 {n l) 4 



!(2»)!|* ■ (2»+ 1) 

 e si ha quindi, pel minimo cercato, l'espressione: 



(10) 



(2»)! • l/2n + 1 ' 



2. Il valore efficace w M , relativo all'intervallo ( — 1 , + 1), che com- 

 pete al polinomio T„ di Tchebychef, è dato, per definizione, dalla 



1 f +1 



w l = 2J i TndXì 



ovvero, avuto riguardo alla (2) e posto x = cosg>, dalla 



1 f TC 

 = gi^i ' J 0 cos2 ( w 5P) sen 5P ^ • 



Un calcolo molto semplice conduce alla forinola 



Rendiconti. 1910, Voi. XIX, 1° Sem. 60 



