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Si introduca la serie di funzioni ortogonali: 

 (17) ipAs),^),... 

 e la corrispondente serie di costanti: 



(17) ' K,.h,;..\ 



tali che : 



(18) Vi(«') = ìr- f Vi&logr'ds. 



Da questa equazione risulta intanto che le ipi{s) sono finite e continue 

 lungo C. 



Si ha ancora che la serie (17) [e quindi anche la (17)'] è infinita. 

 Infatti l'equazione integrale: 



(19) fè'(s)\ogr'ds = 0 



Jc 



non ammette alcuna soluzione effettiva (') quando la linea C non è speciale, 

 ed ammette una sola soluzione effettiva Vi{s) quando C è speciale; mentre 

 se la serie (17) fosse finita la (19) dovrebbe ammettere infinite soluzioni 

 effettive, come risulta dalla teoria delle equazioni integrali ( 2 ). 

 Ciò premesso, si ha, in virtù delle (16), (18), 



ai x(s) fi(s) ds = ^jj c ) v'is') — v(s') \ xpi(s) log r' ds ds' = 



=f c I v'(s') - v(s') Ids'^j^ xfgs) log r'ds = ~ Jj v'(s') — v(s') \ fi(/) ds' . 



Le costanti X t ai sono allora i coefficienti relativi allo sviluppo dell'espres- 



00 



sione y'(s') — v(s') in serie delle funzioni tpi(s') ; e quindi la serie Y. '% a\ 



sarà convergente, in virtù del noto teorema di Riesz. 



Se la curva C non è speciale, ciò è necessario e sufficiente per conclu- 

 dere che l'equazione integrale di l a specie (15) ammetterà una soluzione ( 3 ), 

 la quale sarà data dalla formola: 



<p{s) = v'(s) — v(s) . 



(') Conformemente alla nomenclatura introdotta nella mia Nota: Sopra gli sviluppi 

 in serie di funzioni ortogonali [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXIX, 

 1° sem. 1910, pp. 155-163], chiameremo soluzione effettiva dell'equazione integrale (19) 

 ogni soluzione che è diversa da zero in punti di un insieme di misura non nulla. 



( a ) Vedi la Nota L,, § 6; e la Nota L„, Art. I, § 1. 



( 3 ) Picard, Comptes rendus, 14 juin 1909. 



