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Se la curva C è speciale, bisogna aggiungere l'altra condizione (*) : 

 (20) fx(s') »!(«') <fe' = 0. 



E questa è essa pure verificata dalla %{s). Infatti, rammentando che nel 

 caso di C linea speciale si ha per definizione: 



^ fy 1 (s')logr'ds' = 0, 



dalla (16) risulterà appunto: 



£ x (s') Vì (s') ds'=J c ) v'(s) - v(s) [ ds ^£ »,#) log r' ds' = 0. 



Per cui anche nel caso in cui la linea C è speciale, l'equazione integrale 

 di l a specie (15) ammetterà una soluzione, la quale sarà data dalla for- 

 inola ( 2 ) : 



<jp(s) == v'(s) — v(s) -\-aVx(s) 



con a costante arbitraria. 



Riassumendo si ha dunque il seguente riultato: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè esista uno strato sem- 

 plice logaritmico a densità finita e continua, il quale nei punti di C 

 coincida con la funzione finita e continua x(s), arbitrariamente data, è 

 che il doppio strato W(| , rf) avente per densità la %{s) possa trasformarsi 

 in strato semplice tanto nel campo finito <r, quanto in quello infinito <r'. 

 Note le densità degli strati semplici in cui si trasforma W(| , rf) nei due 

 campi <f , tf', sarà pure nota la densità dello strato semplice richiesto. 



Trasformazione di un doppio strato in strato semplice. 



3. Sia x(s) una funzione finita e continua dei punti di C . Proponiamoci 

 di trasformare nell'area finita e il doppio strato W(£ , rj) in uno strato sem- 

 plice V(£ , r]), la cui densità v(s) sia una funzione finita e continua. 



Supposta l'esistenza della funzione v(s), si avrà che esiste ed è finita 



d~V dW 

 e continua lungo C la — ; quindi esisterà la —— e sarà anch'essa finita e 

 8 dn dn 



continua. 



Si supponga inversamente che esista e sia finita e continua lungo C 



H Vedi la Nota L 3 , § 3. 

 ( l ) Vedi la Nota L s , § 4. 



