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Sia v[{s) una soluzione dell'equazione (7)'. La v[(s) sarà finita e con- 

 tinua, in virtù delle proprietà del nucleo a(s' , s) ; quindi dello strato sem- 

 plice : 



r^,V)= j/i(s)^gr ds 



esisteranno e saranno finite e continue le espressioni , , e dalle ior- 

 mole (1), (2) della precedente Nota risulterà, tenuto conto della (7) r , 



(24) ^ = - \ v[(s') + J c v[(s) . «(«' ,s)ds = Q, 



(25) ffi = ì v[(s') + vfy) . a(s' ,s)ds = v[{s') . 

 Si ha poi: 



sicché la funzione V((£ , i?) è armonica nel campo ff', e quindi varrà per 

 essa la formola (3') della precedente Nota, la quale, in virtù della (24), 

 ci darà : 



r A v[dff'=o. 



Ja' 



Di qui, avuto riguardo che la V[(£ , 17) si annulla all'infinito, risulta: 



v;(£,*?)=o 



in tutti i punti del piano; e per conseguenza, tenuto conto della (25), 



(nei punti di C) v[(s) = 0 . 



Adunque le (6)', (7/ non ammettono alcuna soluzione effettiva ('); e 

 quindi l'equazione integrale (21) r ammetterà una soluzione ed una solamente, 

 che sarà finita e continua lungo C. 



Si costruisca con questa soluzione v'(s) lo strato semplice: 



Si ha, in forza della (21)', 



Tv 5 1 C dW 



« Ì = -\ V '^+X V ' {S)MS '< S)ÌS =M' 



(') La dimostrazione di questa proposizione data da Fredholm nella sua Nota: Sur 

 une nouvelle méthode pour la résolution duproblème de Dirichlet (Oefversigt af Kongl. 

 Vetenskaps-Akademiens Fdrhandlingar 1900, n. 1, Stockholm, pp. 39-46) richiede mag- 

 giori condizioni sulla natura della linea C . 



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