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e poiché: 



risulterà : 



dn' dn' ~ V [S ' ' 



f v'(s') ds'=0; 

 Jc 



e perciò la V'(£ , rj) sarà armonica nel campo a', appunto come la W(£ , rj). 

 In forza della (26) avremo dunque: 



(nei punti di a') V'(? , rj) = W(£ , rj) . 



Si ha così il seguente risultato: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè nel campo infinito o' il 

 doppio strato W(£ , rj) possa trasformarsi in strato semplice a densità 



finita e continua, è che esista e sia finita e continua lungo C la — ^- . 



Esistenza e sviluppabilità della densità y(s). 



6. Da tutto ciò che precede risulta che condizione necessaria e suffi- 

 ciente affinchè l'equazione integrale di l a specie (15), nella quale la fun- 

 zione data %(s) è finita e continua, ammetta una soluzione <p(s) finita e 

 continua, ossia affinchè esista uno strato semplice logaritmico a densità 

 5P(s) finita e continua, il quale nei punti di C coincida con la funzione 

 data %(s), è che il doppio strato W(£ , rj), avente per densità la funzione 



x{s), abbia le due derivate normali , finite e continue lungo C ( 1 ), 



e inoltre che nel caso di C linea speciale la funzione %{s) verifichi l'equa- 

 zione (23). 



(') In virtù del noto teorema di Liapounoff, che qui potremmo dimostrare usufru- 

 endo dei calcoli del § 5 (Cfr. per le tre dimensioni la mia citata Memoria del Nuovo 

 Cimento, cap. Ili, § 14), basterà che esista e sia finita e continua lungo C una sola delle 



dW dW 



due espressioni — r— — — . Rammentiamo ancora che si conoscono delle condizioni, per 

 dn dn 



la funzione sufficienti affinchè ciò avvenga (Vedi ad es. la mia Nota: Sulle derivale 

 della funzione potenziale di doppio strato, inserita in questi Rendiconti, voi. XIV, 1° sem., 

 serie 5 a , fase. 2°, anno 1905, pp. 70-75). 



