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7. Dimostrata l'esistenza della soluzione finita e continua (p(s) dell'equa- 

 zione integrale di l a specie (15), risulta, in forza del noto teorema di Hil- 

 bert-Schmidt, 



00 



1 



in cui la serie al secondo membro è uniformemente convergente. 

 Posto allora: 



, v) = ^ J g log r ds , 



si avrà, in virtù della (18), 



W = £ £ ff(s) log r' ds = ; 



e quindi, applicando un noto teorema del Volterra sopra le serie di funzioni 

 armoniche (*), risulterà lo sviluppo : 



i 



8. Per ciò che riguarda la sviluppabilità in serie di funzioni i/> t (s) 

 della densità g>(s), si può dire ( 2 ) che i coefficienti dello sviluppo sono A^, , 



00 



La 2 ,... e che se la serie ^ mi aiX i xp i (s), moltiplicata per log r' , è integra- 



i 



bile termine a termine nel campo C, si avrà: 



(27) <p{s) = %a i l i f i {s). 



i 



Se poi rammentiamo che, supposte soddisfatte per la funzione #(s) le 

 condizioni del teorema al § 6, la soluzione y>(s) dell'equazione integrale (15), 

 è certamente finita e continua, avremo, in forza di un teorema sugli svi- 

 luppi in serie di funzioni ortogonali ( 3 ), che condizione necessaria e sufpZ- 



00 



dente j affinchè nei punti di C sussista la (27), è che la serie A,- V>t(s) 



i 



sia quasi uniformemente convergente nel campo C. 



(*) Sopra alcuna condizioni caratteristiche delle funzioni di una variabile complessa 

 (Annali di Matematica, Serie II, Tomo XI, 1882-83, pp. 3-55). 

 ( a ) Vedi la Nota L,, § V 



( 3 ) Vedi la mia citata Nota del Circolo matematico di Palermo, § 10, §). 



