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Matematica. — Di alcune nuove classi di equazioni integrali. 

 Nota di Guido Fubini, presentata dal Socio Enrico d'Ovidio. 



I teoremi di Hilbert-Schmidt per le equazioni integrali a nucleo sim- 

 metrico furono da me estesi in una recente Memoria (') alle equazioni inte- 

 grali polari senza far uso dell'algoritmo delle forme quadratiche a infinite 

 variabili. Gli stessi metodi da me usati in tale ricerca permettono di esten- 

 dere tali risultati ad alcune nuove classi di equazioni integrali, che io stu- 

 dierò successivamente nei §§ 1, 2, 3 di questa Nota. Delle dimostrazioni 

 non dò quasi cenno, perchè sono perfettamente analoghe a quelle della Me- 

 moria citata. I simboli di integrazione si dovranno tutti intendere come 

 simboli d'integrazione in un dato intervallo finito J. Le funzioni di una 

 sola variabile, che noi introdurremo, saranno tacitamente supposte integrabili 

 insieme al loro quadrato nell'intervallo J. Le funzioni simmetriche di due 

 variabili, che noi useremo, saranno supposte soddisfare alle condizioni, che 

 Hilbert-Schmidt impongono ai nuclei (Kern) delle equazioni integrali da 

 essi studiate. 



L Sia l'equazione 



f{x) =- g>{x) + JÉ(x , y) <p{y) dy — xJg(x , y) <f (y) dy = 



= #) + J[?(* ,y) - A G(z , y)-] <?(y) dy 



un'equazione integrale, dove (f (x) è la funzione incognita, K e G sono fun- 

 zioni simmetriche delle x , y. Questa è la più generale equazione integrale 

 simmetrica, che contenga linearmente il parametro X ; e per K = 0 si riduce 

 alla equazione di Hilbert-Schmidt. Supporremo che K(x , y) sia un nucleo 

 definito positivo, che cioè per ogni funzione u(x) si abbia 



Jj K(x , y) u(x) u(y) dx dy ^.0. 

 Se u(x) , v{x) sono funzioni in J, porremo 



L,(w , v) =Ju(x) v{x) dx+jj K{x , y) u(x) v{y) dx dy ; L x (u , u) = L^u) 



L 2 (w , v) = , y) u{x) v(y) dx dy ; L^u , u) = L 2 (u). 



( l ) figliazioni integrali e valori eccezionali, Annali di Matematica, 1910, serie 3 a , 

 tomo 17. 



Rendiconti. 1910, Voi. XIX, 1° Sem. 87 



