— 670 — 



I limiti superiore e inferiore di L 2 (m), quando u soddisfaccia alla L,(m) = 1, 

 sono entrambi limitati: sia fi =}= 0 uno di essi; e sia Ui , u% , u z ... una suc- 

 cessione di funzioni tali che Lì(m„) = 1 , lim L 2 (w„) = Si può dimostrare 



«=00 



che la nostra successione si può scegliere in guisa che esista il 

 lim ( [G(a? , y) — fi K(x , y)~] u n (y) dy , 



»=cc J 



e che questo limite sia una funzione tp{x) continua della x. E questa fun- 

 zione <p(x) differisce soltanto per un fattore costante da una funzione (f>(x) 

 soddisfacente alle 



(1) fx | <p{x) + Jk(« , ?/) (f{y) dy j = Jg(« , y) <p{y) dy . 



Una funzione <p, e il corrispondente valore del parametro ^ tali che 

 sia soddisfatta la (1) si diranno una funzione e un valore eccezionale per 

 la nostra equazione integrale. Resta così provata l'esistenza di almeno una 

 soluzione eccezionale. 



Se chiamiamo coniugato normale un sistema di funzioni (p^y*, ... , <p n 

 soddisfacenti alle L^) = 1 , , (p*) = 0 (per i 4= k), si può dimostrare 

 facilmente che ogni sistema di funzioni (linearmente indipendenti) eccezio- 

 nali per la nostra equazione integrale si può con una trasformazione lineare 

 intera omogenea trasformare in un sistema coniugato normale. Supposto 

 dunque che (px,(f2, , <pn sia un sistema coniugato normale di funzioni 

 eccezionali, e che ^ , fit , ... , fi n siano i corrispondenti valori eccezionali, 

 la ricerca di una {n + l) esima funzione eccezionale, e del corrispondente va- 

 lore eccezionale equivale a un problema analogo a quello già studiato, a 

 studiare cioè i limiti inferiore e superiore dell'integrale 



l 2 (f— f cì ^) = Jf , y) a») f(y) dx d v 



quando la funzione f soddisfi alla 



1 = L, ]>> 9 ^ =jr(x) dx+jj K™(x , y) f(x) f(y) dx dy . 



