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Si è posto in queste forinole 



Ci = Lx(f ,g>i) = ~ L 2 (/ , <jpi) ; 

 Hi 



a (n) (x , y) = G(x , y) — g p, | ^(^ -f Jk(x , g) &(<>) dg j X 



X^i(y)+jK(y,Q)(p i {Q)d Q ì 

 K™(x ,y) = K(x,y)-2_ ^jpiix) + flt(x, g) &(<>) dgl X 



x ^jPi(y) + Jifo , g) <pì(q) dg~J . 



Eesta così (come nella Memoria citata), dato un mezzo per determinare una 

 dopo l'altra tutte le funzioni eccezionali e i corrispondenti valori eccezionali. 

 E assai probabile che ulteriori ricerche permettano 



1°) di dare una teoria per gli sviluppi in serie secondo le funzioni 

 eccezionali qui determinate; 



2°) di imporre a K(s , t) condizioni meno restrittive ; 

 3°) di estendere questi risultati a qualche classe di equazioni inte- 

 grali, il cui nucleo, pur essendo simmetrico nelle x,y, contiene il para- 

 metro k non linearmente (Quesf ultima previsione è giustificata dalle recenti 

 generalizzazioni dovute al Bócher dei teoremi di oscillazione). 



2. Ai precedenti risultati si può dare un'altra forma interessante. La 

 equazione 



xp(x) = <p{x) -f Jk(x , y) <p{y) dy 

 è costantemente equivalente a un'equazione del tipo 



y(x) = ip(x) + Je{x , y) tp(y) dy 

 dove H è una funzione soddisfacente alla 



E{x , y) + K(x , y) + fax , z) K(y ,g)dz = 0. 

 Se infatti così non fosse, esisterebbe una funzione u(x) ={= 0 soddisfacente alla 



u(x) + Jk( x , y) u(y) dy = 0 



e quindi alla 



Ju*(x) dx -\-JJk(x , y) u(x) u(y) dxdy = Q, 



