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3. Dimostrerò ora che la teoria delle funzioni e dei valori eccezionali 

 si può estendere a quelle equazioni del Fredholm, il cui nucleo è il pro- 

 dotto simbolico Jk(# , s) V(y , z) dz di due funzioni simmetriche K(x , y) , 

 Y(x ,y). Su K(x , y) farò le ipotesi già enunciate al § 1. Poniamo 



L,(m , v) =z£j~K(x , y) u(x) v(y) dx dy ; Li(u) = I>\(u , u) 

 H 2 (a? ,y)=jjK{x, r) V(r , s) K(s , y) dr ds 

 L 2 (w , v) = H 2 (cc , y) u(x) v(y) dx dy ; L 2 (u) = L 2 (u , u) 

 r(u , v) = jj V(x , y) u{x) v(y) dx dy ; r(u) = T{u , u) . 



I limiti inferiore e superiore dei valori di L 2 (w) , quando la funzione u 

 soddisfa alla ~Li(u) = 1 sono finiti. Sia fi =j= 0 uno di essi ; e siano le 

 funzioni soddisfacenti alle Li(u n ) = 1 , lim L 2 (w„) = fi . 



n=cc 



Si può dimostrare che la successione delle u n si può scegliere in guisa che 

 j*H.t(x , r) u n (r) dr tenda per n = co a un limite ip{x), che differisce sol- 

 tanto per un fattore costante da una funzione <p(x) soddisfacente alle 



ri,)*.-* -*\ 



fi 



(2) fi<p(x) = JTJk(z , r) Y(y , r) dr^ <p(y) dy. 



Se diciamo funzione eccezionale e valore eccezionale una funzione g>(x) 

 e il valore corrispondente di fi, che soddisfacciano alla (2), le precedenti 

 considerazioni servono a dimostrare nel caso attuale l'esistenza di almeno 

 una funzione e un valore eccezionali. 



Se spi , y> 2 , ... , (p n è un sistema di funzioni eccezionali (linearmente 

 indipendenti) e fi\ , fi t , ... , fi n è il sistema dei corrispondenti valori ecce- 

 zionali del parametro a , si dimostra, posta e ; = fih. = r+= 1 che con una 



N 



opportuna trasformazione lineare il sistema delle <pi si può trasformare in 

 un altro sistema di funzioni eccezionali g>i soddisfacenti alle r(y { ) = *f , 

 r{<fi > SP*) = O (per i=^k), ossia, come diremo, in un sistema coniugato 

 normale. Per trovare poi una ( n -\-l) esima funzione eccezionale (p n +i e il 



