— 674 — 



corrispondente valore eccezionale fi n+i , si ponga : 



Pi(x) =Jy(x , y) g>i{y) dy a = Sijf{x) <pi(%) dx 



n 



K^(x ,y) = K(x ,y) — X\[n\ <pi{x) <pi{y) 



ifV) = ^(f-t **) = Mf) - % N ?i = 



= K«(jì , y) f(x) f(y) dx dy 



n 



^T\ X i V) = E»(x ,y) — y_m\iii\ g>i(x) (pi(y) = 



1 



= jj K< n) (x , r) V(r , s) ~K (n) {s , y) dr ds 

 KXf) = L 2 (/ - I * = L 2 (/) - J_ m | p, | c\ = 



=jjR?\x,y)f(x)f(y)dxdy. 



Lo studio dei limiti inferiore e superiore dei valori di Ii ( 2 n) (f), quando 

 f soddisfa alla ~L[ n) (f) = 1 è un problema simile a quello già trattato (*) ; 



(') Poiché in questa dimostrazione si presenta qualche fatto nuovo, lo riassumerò 

 brevemente, rinviando per i particolari alla dimostrazione analoga della Mem. citata. 



Sia fin-t-i =^= 0 uno dei limiti (inferiore o superiore) testé ricordati nel testo ; sia 



Mi , Ui , ... una successione tale che L[ n) (Uj) = 1 , L< w, (tt,-) = fi n +i + Vj > dove lim i?y = 0. 



J=oo 



Si dimostra che la successione delle uj si può scegliere in modo che ^Jh s (tc) (# , y) uj{y) dy 



tenda per j = oo a una funzione limite continua ip(x) e si dimostra pure che, se Vi , v t , ... 

 è un'altra successione di funzioni, tale che Li[Vj) siano per j ==1, 2 . ... tutte inferiori 

 ad una stessa costante, allora 



(a) lim jvj(x) dx j (jw„ +1 + tjj) {x , y) uj(y) dy — j*B*»\ x , y) uj(y) dy J = 0 . 



Ponendovi successivamente 



Vj (x) = J"k<»>(* , r) V(r ,x)dr , Vj{x) = uj(x) , vj{x) = jy{r) V(r , x) dr 



si trova che T(tp) =4= 0 e che quindi rp , moltiplicato per una costante, si trasforma in 

 una funzione q> n -hi soddisfacente alle 



r(<jp w+1 ) = 1 ; J~ Jk^>(^ , r) V(r , y) dr~^ y n +i{y) dy = p n <jfr . 

 Posto poi Vj{%) =jv(z , x) (fi(z) dz (i — 1 , 2 , ... , ri), si trova tosto che r(<p m+1 , <p<) = 0. 



