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per mezzo di esso si giunge facilmente alla y n+1 ed a p n+1 . Poiché, come 

 già scrivemmo, 



L » (f-%ap) = Mf)-ì.\!>i\cl 



e K(x,y) è un nucleo definito positivo, se ne deduce: 



Se (pi , sp 2 , ... sono le successive funzioni eccezionali (determinate 

 p. es. col metodo precedente) e se j* x , fi 2 , ... sono i corrispondenti valori 

 eccesionali disposti in ordine tale che \(i n \> \fi n+1 \, allora le serie 



(dove w , v sono funzioni arbitrarie) convergono assolutamente e uniforme- 

 mente. E (come nella Memoria citata) si dimostra che è identicamente 



L 2 (w : ,v) = J^fii\fii\'J; u(x) <fi{x) dxj v{sé) (fi(x) dx . 

 Se poi u(x) è una funzione che si può scrivere sotto la forma 



Jh 8 (# , y)p{y) dy 

 (dove al solito ^(y) e p 2 (y) sono integrabili), allora è: 



u{x) = Y. Yi SPi(*)> 



dove 



Hi = Hi\^i\Jg>i(x)p(x) dx = sì T{u , y>i) , 



e dove la serie del secondo membro converge assolutamente e uniforme- 

 mente. Non è naturalmente escluso che alcune delle serie qui citate si ri- 

 ducano a somme. 



Insomma tutti i teoremi della mia Memoria citata si possono, con 

 qualche modificazione, estendere al caso attuale. Io ho solo ricordato qui i 



Le equazioni precedenti si riducono perciò alle 



r(9w0 = 1 ; j £ Jk{ x , r) Y(r , y) dr~\^ <p n+l (y) dy = cp^x) . 



A questa funzione cp n+1 che colle <p t , q>, , ... , q> n forma un sistema coniugato normale, 

 siamo giunti partendo dalla considerazione delle funzioni * = f— "Zapi che non soddi- 

 sfano alle r(#,^) = 0, ma invece alle jétffitt ■ = 0 e quindi sono ortogonali alle cp . 



Invece le funzioni F(«) = Jk(s , y) dy soddisfano alle r(F , ^ = 0, o, come potremo 

 dire, sono coniugate delle q>i. 



