Qui tratterò semplicemente il caso reale e per tre sole variabili ; per quello 

 generale di n variabili — reali o complesse — e per qualche applicazione 

 rimanderò ad una mia Memoria che sarà tra poco pubblicata. 



1. Sia J?(xi , Xi , x 3 ) una funzione reale delle variabili reali £i,# 2 ,# 3 , 

 data in tutto il campo reale ed ivi, eccettuati al più i punti all'infinito, 

 continua e, rispetto ad ogni variabile, sempre crescente. Si consideri una 

 successione infinita di punti (x[ r) , xi r) , xp) e si supponga che : 1° sia 



(1) lim ¥(x^ , , <') = F(sci , x 2 , x 3 ) , 



dove Xy. , x 2 , x 3 sono numeri reali finiti ; 2° preso ad arbitrio un numero 

 positivo e, si possa sempre determinare un f tale che, per ogni r> _ , 

 si abbia 



(2) xP^x s -\-e (5 = 1,2,3). 

 Si avrà allora 



ìimxf^Xs (* = 1,2,3). 



r=oo 



Infatti, se ciò non fosse, si potrebbe scegliere, nella successione dei punti 

 (x 1 P , #f , <>), un'altra successione {x?° , x[ r ° , x™) tendente ad un 



punto limite (x l , x, , x 3 ) distinto da (x 1 , x 2 , x 3 ). Questo punto limite, per- 

 le (2), avrebbe le sue coordinate rispettivamente inferiori od eguali a quelle 

 di (xi ,x 2 ,x 3 ), e la disuguaglianza x s < x s dovrebbe essere soddisfatta 

 per almeno un valore dell' indice s . Allora, se le Xj. , x z , x 3 fossero tutte 

 finite, si avrebbe 



lim P(cc c 1 ri) , <° , <°) = #i , , zì) < Ffai , , »s) , 



fl=0O 



e ciò contro la (1). Se poi qualcuna delle x fosse infinita, si potrebbe sce- 

 gliere un punto (x[ , x\ , x' 3 ) a coordinate tutte finite e soddisfacenti alla 

 condizione x s <x' s <x s o all'altra x s = x' s = x s secondochè è x s <x, 

 oppure x s — x s - Avendosi in tal punto ¥(x[ ,x\,x 3 ) < ¥(x 1 , Xì , x 3 ) , si 

 potrebbe, per la continuità, determinare un numero positivo rj in modo da 

 rendere soddisfatta la disuguaglianza 



¥(x[ + 7] , x\ + r] , x 3 + iy)< F(a3i , x z , x 3 ) , 



e perciò — essendo lim x^° = x s < sc s ' + n — si avrebbe, per ogni r x 

 Kbndiconti. 1910, Voi. XIX, 1° Sem. 88 



