maggiore di un certo r , 



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lira F(^ r,) , a£'> , <'>) < F(à?i -f t? , x[ + t? , ^ + F(#, , « 2 , x 3 ) , 



contro la (1). 



Si può osservare che la proposizione precedente vale anche se, invece 

 delle disuguaglianze (2), sono verificate, da un certo punto in poi, le altre 



4 r) >^ s — * (s = l,2,3). 



2. Indicando con f(x) la funzione di x che si ottiene ponendo nella F 

 del numero precedente x x = x 2 = x 3 = x , l'equazione in x 



(3) f{x) = ¥{ Xl , x t , x 3 ) 



ammette sempre, per ogni terna di numeri finiti Xi , cc 2 , x 3 , una soluzione 

 ed una sola. La cosa è evidente se è Xi = x 2 = x 3 ; in caso diverso, indi- 

 cando con m ed M rispettivamente il minimo ed il massimo dei tre numeri 

 Xi , x 2 , x$ , si ha, per le proprietà delle F , 



F(m,m,m)< F(b, , x 2 , x 3 ) < F(M , M , M) 

 am)<Y{x lì x ì ,x 3 )<f{W), 



e quindi esiste un x ed uno solo, soddisfacente alla doppia disuguaglianza 

 m<ìj;<M, che verifica la (3). 



Osserviamo che, se aggiungessimo la condizione di essere la F simme- 

 trica rispetto alle sue tre variabili, la soluzione della (3) darebbe la più 

 generale delle medie dei numeri x x , x* , x 3 . 



3. Ciò premesso, consideriamo p funzioni F 



(4) F,,F 2 ,...,F f , 



e dimostriamo la seguente proposizione : 

 Sia 



(<>),<>,<>) (r=l,2,...) 



una successione di punti, a coordinate finite, la quale goda della seguente 

 proprietà: per ogni r si possa trovare in (4) una ¥ Qr tale che la solu- 

 zione dell'equazione x ir) 



(5) fq r (x ir) ) — Yq r {x^~ l) , » ( 2 r-1) , X^~ l) ) 



