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non sia inferiore a nessuno dei tre numeri x[ r) , xP , xP ; esistono allora, 

 e sono tra loro uguali, i limiti 



lim af , limx'-p , lim <> . 



r=ao 



r—ao 



Osserviamo, dapprima, che, indicato con x (r) il massimo dei numeri 



%\ ,oc 2 , x s , si ha, da una parte, per l' ipotesi fatta, x^ <. x (r) e, dal- 

 l'altra, x lr) <x< r -» (infatti è 



= F^f» , * J-« , < F,' , ^ ) ^-„ } = ^ (^c-i?)) 

 e perciò, riunendo, 



Esiste quindi il limite 



( 6 ) lim x M = , 



r=oo 



e questo limite potrà essere finito oppure uguale a — oo. In quest'ultimo 

 caso, essendo *<» il massimo dei numeri xP , xP , xP , la proposizione 

 risulta già dimostrata. Rimane dunque a considerare l'ipotesi di. a finito, 

 nella quale possiamo dire che, preso un s piccolo ad arbitrio e positivo, 

 per ogni r maggiore di un certo r, è 



W »i r) < x + e ( S = 1 , 2 , 3). 



Notiamo, ora, che fra le (4) ve ne sono certamente alcune che compa- 

 riscono infinite volte nella successione 



F g ,,F 9s ,...,F 9} .,... 



Per comodità di scrittura supporremo che tali F siano le prime p' 

 {l<p'<p), e solamente esse. Siano, allora, 



i valori dell' indice r per i quali è F Sr = F, . Si ha, per quanto è già stato 

 osservato, 



e, per la (6), 



lim £ ( V = x , 



