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ossia, per la continuità della fi e per la (5), 



lim/ , 1 (^ ( V) = / 1 (x) 



V=oo 



lim F^' 1 ' , 4~ X) , xf») = fx{x) = F 4 (* ,»,*). 



Da quest' uguaglianza e dalla disuguaglianza (5) risulta, per la proposizione 

 del n. 1, che esistono i limiti delle x^~ l) per v = oo e che è 



\\mx^ = x (s = l , 2,3). 



Al medesimo risultato si giunge prendendo successivamente in conside- 

 razione, invece della (8), le successioni dei valori dell'indice r per i quali 

 è, rispettivamente, F 3r = F 2 , ... , F ?r = F p r . Siccome p' è un numero finito 

 (<. j>), si conclude che esistono i limiti per r — oo di 4 P) , x[ r) , #3 r) , e che è 



lim = lim a ( p = lim x'? , 



come appunto dovevasi dimostrare. 



Si può osservare che il limite delle x { p è certamente minore od uguale 

 al massimo dei numeri %P , a$ , 4 1 ' (sempre minore se questi x non sono 

 tutti eguali). 



4. Corrispondentemente alla proposizione dimostrata al numero prece- 

 dente si ha quest'altra: 



Sia 



«> , <> , x?) (r = l , 2 , ...) 



ma successione di punti, a coordinate finite, la quale goda della seguente 

 proprietà: per ogni r si possa trovare in (4) una F 3r tale che la solu- 

 zione dell'equazione in x {rì 



non sia superiore a nessuno dei tre numeri x<{ ] , cc ( 2 r) , xP ; esistono, allora, 

 e sono tra loro uguali, i limiti 



lim x'P , lim^ , lim<\ 



