— 081 — 



Per dimostrare questa proposizione basta ripetere il ragionamento fatto 

 al numero precedente sostituendo alla considerazione del massimo dei nu- 

 meri x[ r) , x { 2 r) , xt ] , quella del minimo. Naturalmente le disuguaglianze ver- 

 ranno tutte cambiate di senso, e le (7) verranno sostituite dalle ^ r) > x s — «; 

 si dovrà, perciò, tener conto dell'osservazione fatta alla fine del n. 1. Qui 

 il limite delle x^ risulta certamente maggiore od uguale al minimo dei 

 numeri x^ , x$ } , x ( 3 1] (sempre maggiore se queste x non sono tutte eguali). 



5. Si consideri l'algoritmo d'iterazione definito dalle equazioni 



/r >r") = ìT'k 5 , »? . *n 

 /r vr") = *rvr , *r > «n 

 /r>« +i >) = v i r\*r , , o - 



dove le sono scelte con una determinata legge fra le (4). 



Quest'algoritmo è di quelli che chiamansi mutabili perchè le sue equa- 

 zioni di definizione possono mutare ad ogni punto dell'iterazione. 



Si fissi un r e sia X?* 11 il massimo (o uno dei massimi) dei numeri 



, » ( 2 r+1) , x^ +1 \ i quali risultano, perciò, tutti minori od eguali alla 



soluzione dell'equazione in x { [ +1) 



fr^r^^rvr >*? >*?)• 



È allora verificata la condizione della proposizione del n. 3 e possiamo 

 dire che l'algoritmo definito dalle equazioni precedenti è convergente, ed è 



lim x\ n = lim x<? = lim x l ? . 



r=oo r=aa r=oo 



Da questa dimostrazione segue, per un'osservazione fatta alla fine del n. 3, 

 che il limite comune delle x ( [ ] è minore od uguale al massimo dei valori 

 iniziali x ( i ] , x^ , x^ . 



La nostra proposizione si può però ottenere considerando, invece del 



massimo dei numeri x l [ +1) , x^ +ì) , x^ l) , il minimo ed applicando ciò che 



si è detto al n. 4: risulta, allora, che il limite comune delle x^ ] è mag- 

 giore od uguale al minimo dei valori iniziali. 



Si conclude, perciò, che il limite delle x ( p è compreso tra il minimo 

 ed il massimo dei valori iniziali xp , x^ , x^ (ed è certamente maggiore 

 del minimo e minore del massimo se minimo e massimo non coincidono). 



