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si vede che: Le curve estremali del nostro problema sono quelle per le 

 quali la normale ed il raggio di curvatura sono rivolti in verso contrario 

 ed hanno il rapporto costante =p. 



Facendo rotare queste curve attorno alla direttrice si hanno dunque le 

 superficie di rotazione coi raggi principali di curvatura opposti in segno ed 

 in rapporto costante. Ne risulta anche subito che la doppia infinità di estre- 

 mali si ottiene da una curva estremale fissa combinando una traslazione nel 

 senso della direttrice con una omotetia col centro su questa retta. 



Dall' integrale primo 



yp == m p (m costante) 



dell'equazione (3) d' Eulero si trae per l'equazione in termini finiti della 

 estremale 



^ mP dy 



X = C — : 



'm ]/y ! P — m 2p 



Essendo qui p positivo, ogni punto della curva (escluso il vertice) ha uno 

 ed un solo punto coniugato ; due punti coniugati sono da parti opposte del 

 vertice e le tangenti in essi si segano sulla direttrice (Hadamard, loc. cit., 

 e Bolza, Variationsrechnung, pag. 80). 



3. Per dimostrare il teorema generalizzato di Lindelof, cioè la formola 

 (1), scriviamo per semplicità l'equazione della curva estremale 



(4) «--f^SSU, 



avendo fatto passare l'asse delle y pel vertice Y = (0,m). Siano 



k = (x x , yi) , B = (* g ,y,) 



due punti coniugati sull'estremale (4), onde saranno le ascisse x x , .%% di 

 segno contrario poniamo x x <C 0 , x- 2 > 0 , e si avrà quindi 



(5) * — »> f* , dy , x> = m* f* , dy . 



Jm fy 2 P — m 2 P J m fy 2 P — ni 2 ? 



Le tangenti in A , B , di equazioni 



y — y^ — ^yf — m^ {x — x x ) 



(6) m 



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