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Differenziando y\/y 2 P — m 2p abbiamo 



v v \/y % p — m 2p 



e integrando da m ad !/ n risulta Y identità 



che possiamo scrivere 



y^ 1 _ (f + 1) P' y 2p _ 



= m % P 



Sommando questa coli' identità analoga in y 2 



y% C y * <ly_ 



m 2p 



]/yp> _ m}p Jm \/y 2 v — m ìp 



ed osservando che, a causa delle (7), i secondi membri sono eguali e di 

 segno contrario, si ottiene appunto la (9). Il teorema generalizzato di Lin- 

 delòf è così dimostrato. 



4. Si può riguardare l'elemento d'integrale (2) come elemento lineare 

 ds di una moltiplicità a due dimensioni definita da 



(10) ds 2 = y 2 P{dx 2 + dy 2 ) , 



ed il problema di minimizzare l' integrale J corrisponde allora a ricercare 

 le linee geodetiche in questa moltiplicità. 



È notevole che le superfìcie dello spazio ordinario alle quali appartiene 

 l'elemento lineare (10) non sono altro, come ora vedremo, che le superfìcie 

 generate dalla rotazione delle evolute delle nostre curve estremali attorno 

 alla direttrice. In generale il ds 2 dato dalla (10) appartiene (secondo il 

 teorema di Weingarten) alle evolute di quelle superfìcie i cui raggi princi- 

 pali di curvatura sono in rapporto costante negativo. 



Ma per dare la nuova interpretazione geometrica del teorema genera- 

 ralizzato di Lindelof conviene dapprima prescindere da ogni particolare forma 

 di superfìcie realizzante l'elemento lineare (10) e riguardare, al modo di 

 Riemann-Beltrami, la moltiplicità generale a due dimensioni definita, in 



