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un sistema di funzioni analitiche della variabile complessa x, reali, per x 

 reale, monodrome e regolari senza eccezione entro il cerchio a sopraddetto. 

 Faremo inoltre le ipotesi seguenti: 



I. Le <p ? (x) e le loro derivate, fino all'ordine n — 1 compreso, si an- 

 nullano per x = 0. 



II. Nessuna relazione lineare ed omogenea a coefficienti costanti leghi 



tra di loro un numero finito delle <p ? {x). 

 Poniamo : 



g>,{x) — Z p Vp(<z)J~A(Vp(4) A(9>n(*)) dz 



(3) if>,(x)= - = ° )t 



yj A(^(^)) - Z p A(^)) J o A(Vp(«)) A(y,(*)) <& j ^ 



l'operazione A essendo definita dalla (2). 



Nessuno dei denominatori della (3) può annullarsi. Sia infatti v il 

 primo indice per cui si abbia 



A(9P*(a>)) — Zp A(Vp(*)) f 1 A(Vp(*)) A(«P*(*)) ^ = 0 . 



ipi(x) , > - V^-iH sono funzioni lineari ed omogenee delle y 1 (aj) , 

 5P s (a?) , ... , 5P„_i(#), onde posto 



V-l /"l 



y(cc) risulta una funzione lineare ed omogenea delle (f x (x) , <p % {x) , ... 

 Ma è 



A(y(aO) = 0 , 



e siccome per x — 0 si annullano cpi(cc) , 5p 2 (ic) , ... spv(aj) e le loro derivate, 

 fino all'ordine n — 1 incluso, si annulla ancora g>(x) e le sue prime n — 1 

 derivate, e quindi è identicamente 



<p{x) = 0 , 



cioè sussiste, contro l' ipotesi, una relazione lineare ed omogenea a coefficienti 

 costanti fra (p L (x) , y>. 2 (x) , ... tpjx) . Non è quindi possibile che si annulli 

 alcuno dei denominatori delle (3): si ha così una formula ricorrente, che 

 definisce, qualunque sia v, xjj^(x) come funzione lineare omogenea a coeffi- 

 cienti costanti di <Pi(x) , g> z {x) , ... (p~>(x) . 

 Poniamo: 



(4) ?,{x) = A(V*(aO) • 



Rendiconti. 1910, Voi. XIX, 1° Sem. 95 



