(5) 



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Dalle stesse (3) deduciamo subito che Pi(as) , V z (x) , ... Pv(«) , - costi- 

 tuiscono un sistema di funzioni normali ed ortogonali: 



f\{x) P v (o5) dx = 0 ^4=° 



= 1 fi = v . 



Alle ipotesi I e II aggiungiamo la III: Le funzioni 

 V^x) , P 2 (cc) , ... , Vf,{x) , ... 



definite dalle (3), (4) costituiscono un sistema chiuso, tale cioè che non 

 esiste nessuna funzione finita e continua a(x), per cui si abbia 



f a(x) P l x(«) dx = 0 , 



a meno che non sia a(x) = 0. 



Nelle ipotesi I, II, III dimostreremo che la serie 



(6) 



tfjU) = > xp^x) )q{x) V^x) dx 



converge assolutamente ed uniformemente nell'intervallo 01, e rappresenta 

 l'integrale delta (1) che per x = 0 si annulla insieme alle sue derivate 



fino all'ordine n—l. 



3. Premettiamo le osservazioni seguenti. Sia R x {x) , ì±»[x) , ... n n yx) 

 un sistema fondamentale di integrali dell'equazione omogenea 



(7) h{y) = y in) + j>i y (M-1) + •'" + P»- 1 y' + p*y = 0 ' 



Piìpi, -Pn essendo gli stessi coefficienti della (1). Poniamo 



(7) 



Hi(£) H«(£) • • • 





h;(?) h;(s) ... 



. ■ K{S) 



hP^) Hr"(?) • 





Hi(a?) H,(a;) 



. • Hn(*) 



*m • • • 



. . Hn(?) 



mm h;(?) ... 







. . Hr 1 ^) 





• • H<?($) 



Consideriamo il piano complesso della variabile if: nell'interno del 

 cerchio <r non cadendo alcuna singolarità dei coefficienti dell'equazione (6), 



