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(cfr. n. 1), il denominatore dell'espressione precedente è diverso da zero. Se 

 quindi diamo a f valori reali compresi tra 0 ed 1, quel denominatore è una 

 funzione reale e continua, il cui limite inferiore è una quantità m diversa 

 da zero. 



Analogamente, £ essendo reale e compreso fra 0 ed 1, le Hi(|) , ... H„(£) 

 sono funzioni reali e continue, e ciascuna di esse ha un limite superiore 

 finito, onde è assegnabile un numero reale positivo h , tale, che il valore as- 

 soluto di ciascun elemento del determinante che comparisce al numeratore 

 della (7) è minore di h. Per il noto teorema di Hadamard il valore asso- 



y n n 



luto di quel determinante è inferiore a h n ]/n n , onde posto M = — - — , 

 abbiamo : 



|F(|,a;)|<M 



%,x essendo reali e compresi tra 0 ed 1. 

 Analogamente si dimostra subito 



yF(?,g) 



~òx r 



<N, (/•=! ,2,...» — 1) 



N essendo un numero assegnabile, £ e x essendo sempre reali e compresi 

 tra 0 ed 1. 



Introduciamo le funzioni Q r (£ , x) uguali a — per £ <• x ed uguali 

 a zero per £ > x , avremo 



A 2 , r = 0 , 1 , ... n — 1 



ove si è posto — = F, ed A è un numero superiore a M e N 



1)X 



4. Lemma. — Diciamo 6(x) una funzione reale finita e continua nel- 

 l' intervallo 0 1, insieme alle sue prime n derivate, che per x = 0 si annulla 

 insieme alle sue prime n — 1 derivate. Poniamo 



A (0(x)) = g(x) 



h{x) = 6{x) - ( X g(ì) P(f ,x)<% = 0{z) — f>(l) Qo(? , x) dì 

 ^ ) otteniamo derivando 



h«\x{ = e^(x) — f *W) ^7 (F(£ » 4# , r = 1 , 2 , ... » - 1 



J o 0$? 



