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Ma F, considerata come funzione della x, è un integrale dell'equazione 

 omogenea (6), abbiamo quindi tenuto conto della prima delle (9): 



A(h(x)) = A{0(x)) — g{x) = 0. 



Per ipotesi, per x = 0 , si annulla 6{x) insieme alle sue prime n — 1 

 derivate; dalle (9) risulta allora h(0) = h'(0) = ■ ■ ■ = h^(0) = 0 , onde 

 abbiamo identicamente h(x) = 0 , e quindi 



8{x) =J%(£) F(£ , se) rf£ =Jj(Z) Qo(£ , *) # 



000(3) = J%($) ^ (F(f , a?)) # = J]V(f) <W£ . *) ^ 



r = l,2,...« — 1. 



Enunciamo quindi il seguente lemma: Sia 6{x) una funzione reale 

 arbitraria finita e continua nell'intervallo 01 insieme alle sue prime n 

 derivate, che per x = 0 si annulla insieme alle sue prime n—l derivate; 

 è sempre possibile porre 6(x) , 0'{x) , ... B^(x) nella forma (10), nella 

 quale è g(x) = A(0(#))- 



5. Convergenza delle serie. 



Ciò premesso, consideriamo la serie 



» ri 



(ii) tp(x) - fA x )J o ài*) M*) ds • 



Per il lemma precedente è 



^(^J'p^Qo^tf)^, 



onde, sostituendo, la serie precedente diviene 



f Q.(J , x) dì Cq(s) P^) di . 



Essendo, nell'intervallo 01, P(Qo(l ,*)) 2 & < le H*)^^-- 



funzioni normali ortogonali, per un teorema di Schmidt ('), essa converge 

 assolutamente ed uniformemente in tutto l'intervallo 01. Essa quindi rap- 

 presenta in questo intervallo una funzione finita e continua xp{x). 

 Analogamente, essendo, sempre per il lemma precedente: 



^(x) = f \(Jg) Qr(£ r = 1 , 2 , ... n - 1 , 



0 Mat. Ann., 1907. 



