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si dimostra che convergono assolutamente ed uniformemente le serie che si 

 ottengono dalla (11) derivando successivamente 1,2,... n—l volte. 



Osserviamo ancora che, le y ? essendo per ipotesi funzioni analitiche 

 uniformi della variabile complessa se, regolari senza eccezione entro il 

 cerchio tf, anche le ip P che, secondo le (3), sono combinazioni lineari di 

 un numero finito delle <p P , saranno entro lo stesso cerchio e funzioni ana- 

 litiche, uniformi della x, regotari senza eccezioni. 



La serie (11) essendo convergente uniformemente, per il lemma di 

 Weierstrass, la ip(x) sarà ancora essa una funzione analitica uniforme e re- 

 golare entro tf. 



Esistono quindi della ip(x), entro <r, tutte le derivate fino all'ordine 

 che più piace : secondo le considerazioni precedenti le prime n—l sono 

 rappresentate dalle serie, che si ottengono dalla (11) derivando termine 

 a termine. 



6. Somma della serie. 



Detto G(x) l'integrale dell'equazione proposta (1), che per a = 0 si 

 annulla insieme alle sue prime n—l derivate, dimostriamo G(x) coincide 

 con la somma della serie (11) tp(x). 



Essendo f,<p due funzioni finite e continue, derivabili n volte abbiamo 

 la formula di integrazione per parti 



(12) r<pMf) dx = f V*» dx + <f ' SP) , 

 ove è 



A (/) = fW + Pì f^-V -j h f'+Pnf 



m = Pn <p - + —j^ + (- 1) dx n 



<f , ») = j f\Pn~i<P - -^J^- +••• + (- !) dx *-i ) + 



+ f Y n - ì9 Ix~~ + ' +( 1} dx»->)+ +/ %• 



Posto quindi : 



00 ri 



(13) h(x) = G(x) - xp{x) = G(#) - W ds ' 



1 r ^0 



per quanto abbiamo visto nel numero precedente, la h(x) è una funzione 

 analitica monodroma e regolare entro il cerchio <s , di cui le prime n — l 

 derivate si ottengono derivando termine a termine la serie a destra. Otte- 

 niamo quindi, eseguendo operazioni di calcolo letterale, relative a serie con- 

 vergenti assolutamente ed uniformemente: 



tt (h , Pv) = «(G , Pv) — «(W ' P ") f *?(*) d * 



1 r ^0 



