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per tutti i valori all'indice v. Abbiamo poi dalla (13): 



j\(x) r(V,(x)) dx =jy(*) r ( p «(*)) dx — 



— } 'f CtbJx) r(P,{x)) dx Cq(g) V^s) dz , 



e, sommando membro a membro le relazioni precedenti, ed applicando la (12) : 

 [\{h{x)) PvOr) dx = f A(G(as)) P„(as) dx — 



— Y f A(W(aO) Pv(x) dx f V) W ds 



per tutti i valori dell' indice v : e siccome è A(G) = q , A(g>n) = P^ e le 

 Pi , P 2 , ... sono normali ortogonali, così abbiamo 



{\(k(x))^{x)dx = Cq(x)Ux)dx- Cv->(z)q(s)dz = 0, v = l,2,... 



Ma il sistema delle P„ è chiuso per ipotesi, onde risulta A(h{x)) = 0. 

 Per ^ = 0, si annullano, insieme alle loro derivate fino all'ordine n — 1 

 incluso, G(x) e tutte le ^(x), quindi h(x); segue che è identicamente 

 h(x)=0, ossia Za serie (11) 



= y M x ) f ?(*) W rf * 



•< — j d 



rappresenta l'integrale della (1), che per x = 0 ri »Zto twfoiM «//e 

 sue prime n—l derivate. 

 7. Integrale generale. 



Mostriamo come dalla serie (11) si possa dedurre l'integrale generale 



della equazione (1). 



Sia g(x) un integrale generico della (1): diciamo <p(x) una funzione 

 finita, continua, deribabile n volte nell'intervallo 0 1 , soggetta all'unica 

 condizione che, per x = 0, si abbia 



,(o) = 0(0) , Sì = M ' - * (n ~ 1)(0) = ^ n_1>(0) • 



Posto allora 



(14) G(x) = g{x) — y{x) , Q(») = q{x) — A(y(aO), 



abbiamo 



A(G(a?)) = Q(*) 



