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La regola di Laplace per le due matrici di tre orizzontali mostra che 

 i termini di sesto grado nello sviluppo del determinante si elidono, e l'equa- 

 zione (13) è di quarto grado nelle derivate parziali. 



Il determinante (14) si riduce facilmente alla forma 



V? ~ìy) U W £>? ~)y 



«13 + 



_1_>V/^ 

 H ~ìx !>z 



t12 "J>* Dy 



i 1 ~hlpT>ip 



* 13 + H l>x la 



-22 



i _ /i ]_^])// 



= 23 



1 Di//^ 



/i _ / 1 d^y 



y£ ~iy ~)2 



Ora ponendo S (t , x , y , z) = t — ip(x ,y,s) — Q nella (8) si ricava 



1 



V = 



e d'altra parte si ha, a meno del segno 



, v = ~r , con A 2 + u 2 -f- v 2 = 1 



y Dy ^ 1 



Sostituendo questi valori nella (13') e moltiplicando per V 6 si ottiene 

 £ll V 2 + A 2 — 1 s 13 V 2 + Xfi f 13 V 2 + lv 



(14) 



* 12 v 2 + v 



* 13 V 2 + Ai> 



£22 V 2 + ^ - 1 



«23^* + (IV 



e 23^ 2 + 

 £33 y 2 +r 2 _ ! 



= 0. 



Questa equazione bicubica in V si spezza nel prodotto di V 2 per una 

 equazione biquadratica; è più generale che quella di Fresnel, e si applica 

 a mezzi anisotropi qualsiasi; si riduce alla (1) quando in tutti i punti del 

 mezzo rifrangente le direzioni principali di polarizzazione dielettrica o di 

 elasticità coincidono con le normali alle superfìcie ortogonali 



x = cost , y = cost 



cost. 



In questo caso « 12 = s ì2 = * 13 == 0 ; l'equazione (14) divisa per 



V 2 (* n V 2 - 1) (* 22 V 2 - 1) (* 33 V 2 — 1) 



diviene 



2 2 „2 



IH 1 ^ h 



I <- T72 1 l „ TT2 1 ~ 



flI V 2 — 1 1 * 22 V 2 — 1 1 * 33 V 2 -1 



= 0 



